Matematické Fórum

TomF · 24. 08. 2012 15:30

Zdravím,
narazil jsem na větu (v učebnici pana Krynického): je vektorový součinu vektorů u a v, které svírají nenulový úhel alfa, když k vektoru v přičtem "k"-násobek vektoru u, jejich vektorový součin se nezmění (nezmění se absolutní hodnota u x v =obsah rovnoběžníku určeného u v )
Jenomže trápí mne myšlenka limitního případu kdy "k" jde k nekonečnu,potom limita sinu alfa=0, takže i alfa=0, a potom i obsah "rovnoběžníku" by měl jít k 0... čož už je rozpor touto větou..
Chtěl bych se teda zeptat, jestli je taková myšlenka vůbec zprávná?
Popřípadě, jak se stím má člověk srovnat, nešla by teda takováto definice o přičítání "k"-násobku nějak upravit?
Děkuju.

thriller · 24. 08. 2012 15:57

$(\overrightarrow{u}+k\cdot \overrightarrow{v})\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}+k\cdot (\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v})$ .
Když pak počítáš limitu $\lim_{k\to+\infty }$ , máš tam v druhém sčítanci něco jako nekonečno krát nula a nelze říct, že $\lim_{k\to+\infty }(\overrightarrow{u}+k\cdot \overrightarrow{v})\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ .

teolog · 24. 08. 2012 16:02

↑ TomF:
Zdravím,
ta věta je v pořádku, protože funguje pro k z oboru reálných čísel. Takže jen tak dosadit nekonečno nejde.
Až budete ve škole probírat posloupnosti a jejich limity, tam se trochu s nekonečnem seznámíte a uvidíte, jak s ním pracovat alespoň zčásti).

Rumburak · 24. 08. 2012 16:30

Zdravím taktéž.

Uvažovaný limitní proces není ve sporu s tou větou, protože - čtu-li správně - hovoří se v ní o vektorech $u, v$ svírajících nenulový úhlel .

Vezměme rovnoběžníky $R_k$ , jejichž sousedními stranami jsou vektory $u, v +ku$ umístěné např. v počátku soustavy souřadnic.
Pro $k\to \infty$ můžeme počítat limity velikostí jejich úhlů, stran, obsahů (protože jde o čísla), ale žádný "limitní rovnoběžník s nekonečnou
délkou strany a nulovým úhlem" neexistuje. To, co limitní úvahou vznikne, není už rovnoběžník a stranu "nekonečné délky" nelze
pokládat za vektor.

Rumburak

↑ thriller:

Tu limitu počítat můžeme, dokonce vyjde celkem pěkně:

$\lim_{k\to+\infty} (\overrightarrow{u}+k \overrightarrow{v})\times\overrightarrow{v}=\lim_{k\to+\infty}(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} + k\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v}) = \lim_{k\to+\infty}(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} + \overrightarrow{0}) = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ ,

ale nemůžeme ji interpretovat jako obsah "limitního obrazce".

TomF · 24. 08. 2012 19:57

Moc všem děkuji, ani mi tak nešlo o korektnost té věty:), ale obecně i třeba o to jak vnímat vzoreček pro obsah rovnoběžníků - nějak jsem se nemohl vypořádat s porovnáním situace kdy obsah čtverce, jakož-to ideálního rovnoběžníku pro max obsah, by byl stejný, jako obsah rovnoběžníku, který by měl výšku a 2 strany stejné, jako ten čtverec, ale další dvě strany by byly "nesmírně dlouhé", čímž by se dostávaly hodně blízko k sobě (když teda pominu případ, kdy by šly k nekonečnu a nešlo by mluvit o obrazci), tak se mi zkrátka pořád zdálo, že by takový rovnoběžník musel mít obsah "o něco málo menší" než čtverec...

Rumburak · 27. 08. 2012 09:46

↑ TomF:
Představ si ty rovnoběžníky v rovině. Vezměmě tam vektory

$\vec{u} := (1, 0) , \vec{v} := (0, 1) , \vec{u}_k := \vec{u} + k \vec{v}$

a body

$P := [0, 0] , Q_k := P + \vec{u}_k , R_k := P + \vec{u}_k + \vec{v} , S := P + \vec{v}$ .

Potom $Q_k - P = \vec{u}_k = R_k - S$ , $S - P = \vec{v} = R_k - Q_k$ , takže čtyřúhelník $PQ_kR_k S$ je rovnoběžník.
Jestliže za jeho základnu vezmeme stranu $PS$ , jejíž velikost je 1, potom příslušná výška (vzálenost rovnoběžek $PS$ $Q_kR_k$ ) je rovněž 1,
takže i obsah rovnoběžníka $PQ_kR_k S$ je 1 , a to při libovolném $k$ .

TomF · 27. 08. 2012 15:16

↑ Rumburak:
Ještě jednou děkuju,
asi mi teda bude stačit myšlenka, že když se rovnoběžky $P+ \vec{u}_k$ a $S+ \vec{u}_k$ přiblíží na tolik, že nejde mluvit o obsahu, nejde mluvit ani o čtyřůhelníku, čímž je to zbytečné...

Rumburak

↑ TomF:
Nene. Pokud číslo $k$ je ještě konečné, i kdyby bylo jakkoliv velké, stále půjde o rovnoběžník (rovnoběžky o parametrických rovnicích
$X = P+ t\vec{u}_k$ , $X = S+ t\vec{u}_k$ sice budou mít velmi málou vzdálenost, ale pořád ještě kladnou) .

Zde jde o to, že limitním přechodem velmi často dochází ke změně kvality. Ukažme několik dalších příkladů:

1) Posloupnost sestavená pouze z (konečných) kladných čísel může konvergovat k $0$ nebo $+\infty$ , což už nejsou konečná kladná čísla.

2) Posloupnost sestavená pouze z racionálních čísel může konvergovat k iracionálnímu číslu, stejnětak i opačně.

3) Posloupnost kvadratických funkcí $f_n(x) := \frac{1}{n}\,x^2 + x$ konverguje k lineární funkci $f(x) := x$ .

4) Uvažujme kružnici $k$ a do ní vepsané pravidelné $n$ -úhelníky $(n = 3, 4, 5, ... )$ , jejichž hranicemi jsou uzavřené lomené čáry $L_n$ .
Pro $n$ rostoucí nade všechny meze přechází $L_n$ v kružnici $k$ , která už není lomenou čarou.

Konec konců obdobně je tomu i v přírodě: limitou živata je smrt .

TomF · 27. 08. 2012 19:12

↑ Rumburak:
Jojo. Omlouvám se, měl jsem to napsat jinak - namísto "že se přiblíží na tolik, že nejde mluvit o čtyřúhelníku" jsem měl rovnou napsat, že $k$ nebude konečné.
Že členy jako $\frac{1}{n}\,x^2$ se stávají zanedbatelné při vysokých $n$ , nebo to s tou kružnicí, je mi vcelku jasné. Celý problém byl asi v tom, že jsem si myslel, že k oné změně kvality "by mělo mírně docházet už" před limitniím případem v situaci, která se mu přiližuje. Chyba bude zřejmě v tom, že učebnici posloupností a řad, kde se toto řeší, jsem si za den přečet, vyřešil pár příkladů a toť bylo vše... ještě se tam budu muset podívat :D
Tak děkuju za objasnění a za ten čas... Označil bych to jako vyřešené, ale nevím jak?
Jinak, tou poslední větou je to krásně uzavřené, pěkné...

Rumburak · 28. 08. 2012 10:06

↑ TomF:
Aby závěr nebyl tak chmurný jako v mém posledním příspěvku :-), ještě doplním pár poznámek.

Na ty limitní přechody měnící kvalitu se můžeme dívat buďto z pohledu "praktického" nebo z pohledu ryze matematického,
což není totéž.

Když do kružnice $k$ o poloměru 5 cm bude vepsán pravidelný tisíciúhelník, tak jeho hranici $L_{1\,000}$ od kružnice $k$ patrně
pouhým okem vůbec nerozeznáme a z "praktického" pohledu ji můžeme s kružnicí $k$ ztotožnit. Avšak z matematického pohledu
je $L_{1\,000}$ stále ještě lomenou čarou skládající se z úseček, v jejichž styčných bodech např. není definován tečný vektor,
zatímco u kružnice $k$ je tomu jinak. Z matematického pohledu je přechod od lomené čáry $L_{6}$ k $L_{1\,000}$ pouze kvantitativní -
dílčích úseček, z nichž je lomená čára složena, je jen více a jsou kratší.

Že parabola o rovnici $y = \frac{1}{1\,000\,000\,000}\,x^2$ se ještě i "dosti daleko" od bodu $x = 0$ bude málo lišit od přímky $y = 0$ ,
je v matematice rovněž považováno ještě za změnu kvantitativní a nikoliv kvalitativní - stále jde o parabolu v plném slova smyslu -
má nějaké ohnisko a nějakou řídicí přmku a nepřestává platit, že $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{1\,000\,000\,000}\,x^2 = +\infty$ , od paraboly
$y = \frac{1}{2}\,x^2$ se liší m.j. tím, že interval, na němž se "blízko přimyká" k ose x, je delší.

Technici mívají někdy sklon nechat se strhnout "praktickou" stránkou věci - v matematice to ale bývá chyba.