Matematické Fórum

check_drummer · 24. 08. 2012 20:25

Ahoj,
zamýšlel jsem nad tímto problémem:
Některé geometrické úlohy v Eukleidově rovině nemají vždy řešení (resp. množina řešení je prázdná), např. hledáme-li průnik kružnice a přímky, ne vždy existuje. Pokud tuto úlohu (a jí podobné) transformujeme do $\mathbb{R}^2$ a využijeme metod analytické geometrie, pak v uvedeném případě řešíme soustavu, která "odpovídá" nějaké kvardatické rovnici. Pokud neznámé začneme chápat jako komplexní čísla (nikoli reálná), tak z tohoto pohledu lze říci, že kružnice má vždy s přímkou průnik, i když v některých případech jsou tyto souřadnice komplexní. Otázky, které se nabízí:

1) Lze si nějak "představit" tento ("komplexní") bod v eukleidově rovině, případně v nějakém prostoru, jehož je tato eukleidova rovina (obsahující danou kružnici a přímku) součástí? Teď nemám na mysli klasickou Gaussovu rovinu - ale nějaký prostor, aby se v něm opravdu nacházaly i ona kružnice a přímka.

2) Platí tvrzení, která platila pro "reálné" souřadnice průniku kružnice a přímky, i pro "komplexní" souřadnice? Abych byl konkrétní (a to se dostáváme k zadání úlohy), platí např. věta o mocnosti bodu ke kružnici? Tedy mějme bod P, přímku p procházející P a kružnici k. Označme A,B body průniku p a k (v případě, že p je tečna k, bude A=B). Potom věta o mocnosti bodu ke kružnici říká, že |PA|.|PB| je konstantní nezávisle na směru p. To platí (resp. má smysl) v případě, že p a k mají neprázdný průnik. (Tuto větu považujme za platnou a dokázanou.) Dle myšlenky výše lze zajistit, aby p a k měly průnik vždy (byť souřadnice bodů průniku A,B budou komplexní) a otázka zní, zda i pro tyto souřadnice zůstává uvedená věta v platnosti, tj. zda je stále |PA|.|PB| platné.

Bylo by zajímavé, zda např. také lze zobecněnou větu z bodu 2) dokázat i třeba nějakou algebraickou úvahou (bez "počítání"), ve které bychom např. využili jen platnost této věty pro "reálné" průniky. Pak by třeba bylo možné tuto úvahu zobecnit a použít i pro ostatní podobné věty.

Pavel Brožek · 24. 08. 2012 21:44

1) Představit nevím, ale nestačí vzít prostě $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ , kde rovnice přímky bude obecně $ax+by+c=0$ s komplexními koeficienty a,b,c a kde rovnice kružnice bude $(x-m)^2+(y-m)^2=r^2$ s komplexními m a n a r?

Jak by v tomto případě mohl vypadat důkaz:

Mám v rovině bod P (s reálnými souřadnicemi) a kružnici k (s reálným středem a poloměrem). Dále budu sestrojovat různé přímky p (s reálnými koeficienty) procházející bodem P. Pro přímku p si zavedu soustavu souřadnic $S_p$ tak, že bod P bude v počátku soustavy souřadnic a přímka p bude totožná s osou x. Jednotku volím tak, aby rovnice kružnice k v soustavě $S_p$ byla $(x-m_p)^2+(y-n_p)^2=r^2$ , všechny soustavy mají tedy stejné vzdálenosti (protože stejná kružnice má stejný poloměr). Protože se ve všech soustavách zachovávají vzdálenosti, zachovává se i vzdálenost mezi bodem P a středem kružnice, tedy $\sqrt{m_p^2+n_p^2}=c$ je nezávislé na přímce p.

Rovnice přímky p v soustavě $S_p$ je $y=0$ , takže průsečíky p a k v soustavě $S_p$ mají souřadnice $A=(m+\sqrt{r^2-n^2},0)$ a $B=(m+\sqrt{r^2-n^2},0)$ . Vzdálenosti |PA| a |PB| nezávisí na soustavě, v které je počítáme, takže pro přímku p je spočteme v soustavě $S_p$ .

$|PA|=|m+\sqrt{r^2-n^2}|\nl |PB|=|m-\sqrt{r^2-n^2}|$

Vynásobením dostaneme

$|PA||PB|=|m_p+\sqrt{r^2-n_p^2}||m-\sqrt{r^2-n_p^2}|=|m_p^2-r^2+n_p^2|=|c^2-r^2|,$

výsledek tedy nezávisí na tom, jakou přímku procházející bodem P vezmeme.

Nejsem si vůbec jistý, nakolik je to korektní, ale snad to k tématu aspoň trochu přispěje.

check_drummer · 29. 08. 2012 17:38

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, děkuji za pěknou úvahu - za povšimnutí stojí zejména vhodná volba polohy přímky p.
Tedy obecně lze říci, že pokud ve výpočtech použijeme úpravy "společné" pro reálná i komplexní čísla, pak platí dané tvrzení i v komplexním oboru. (Ne vždy to však musí jít - např. pokud bychom v nějaké úvaze potřebovali porovnat dvě reálná čísla, pak tento postup v komplexním případě použít nejde.)
Druhá otázka týkající se "představení si" bodu s komplexními souřadnicemi v Eukleidově prostoru není pro další úvahy zas tak podstatná, spíš by mohla nějaké další úvahy usnadnit.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2012 20:25

Komplexní body v reálné eukleidově rovině

#2 24. 08. 2012 21:44

Re: Komplexní body v reálné eukleidově rovině

#3 29. 08. 2012 17:38

Re: Komplexní body v reálné eukleidově rovině

Zápatí