Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 08. 2012 20:25

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Komplexní body v reálné eukleidově rovině

Ahoj,
zamýšlel jsem nad tímto problémem:
Některé geometrické úlohy v Eukleidově rovině nemají vždy řešení (resp. množina řešení je prázdná), např. hledáme-li průnik kružnice a přímky, ne vždy existuje. Pokud tuto úlohu (a jí podobné) transformujeme do $\mathbb{R}^2$ a využijeme metod analytické geometrie, pak v uvedeném případě řešíme soustavu, která "odpovídá" nějaké kvardatické rovnici. Pokud neznámé začneme chápat jako komplexní čísla (nikoli reálná), tak z tohoto pohledu lze říci, že kružnice má vždy s přímkou průnik, i když v některých případech jsou tyto souřadnice komplexní. Otázky, které se nabízí:

1) Lze si nějak "představit" tento ("komplexní") bod v eukleidově rovině, případně v nějakém prostoru, jehož je tato eukleidova rovina (obsahující danou kružnici a přímku) součástí? Teď nemám na mysli klasickou Gaussovu rovinu - ale nějaký prostor, aby se v něm opravdu nacházaly i ona kružnice a přímka.

2) Platí tvrzení, která platila pro "reálné" souřadnice průniku kružnice a přímky, i pro "komplexní" souřadnice? Abych byl konkrétní (a to se dostáváme k zadání úlohy), platí např. věta o mocnosti bodu ke kružnici? Tedy mějme bod P, přímku p procházející P a kružnici k. Označme A,B body průniku p a k (v případě, že p je tečna k, bude A=B). Potom věta o mocnosti bodu ke kružnici říká, že |PA|.|PB| je konstantní nezávisle na směru p. To platí (resp. má smysl) v případě, že p a k mají neprázdný průnik. (Tuto větu považujme za platnou a dokázanou.) Dle myšlenky výše lze zajistit, aby p a k měly průnik vždy (byť souřadnice bodů průniku A,B budou komplexní) a otázka zní, zda i pro tyto souřadnice zůstává uvedená věta v platnosti, tj. zda je stále |PA|.|PB| platné.

Bylo by zajímavé, zda např. také lze zobecněnou větu z bodu 2) dokázat i třeba nějakou algebraickou úvahou (bez "počítání"), ve které bychom např. využili jen platnost této věty pro "reálné" průniky. Pak by třeba bylo možné tuto úvahu zobecnit a použít i pro ostatní podobné věty.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#2 24. 08. 2012 21:44

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Komplexní body v reálné eukleidově rovině

1) Představit nevím, ale nestačí vzít prostě $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$, kde rovnice přímky bude obecně $ax+by+c=0$ s komplexními koeficienty a,b,c a kde rovnice kružnice bude $(x-m)^2+(y-m)^2=r^2$ s komplexními m a n a r?

Jak by v tomto případě mohl vypadat důkaz:

Mám v rovině bod P (s reálnými souřadnicemi) a kružnici k (s reálným středem a poloměrem). Dále budu sestrojovat různé přímky p (s reálnými koeficienty) procházející bodem P. Pro přímku p si zavedu soustavu souřadnic $S_p$ tak, že bod P bude v počátku soustavy souřadnic a přímka p bude totožná s osou x. Jednotku volím tak, aby rovnice kružnice k v soustavě $S_p$ byla $(x-m_p)^2+(y-n_p)^2=r^2$, všechny soustavy mají tedy stejné vzdálenosti (protože stejná kružnice má stejný poloměr). Protože se ve všech soustavách zachovávají vzdálenosti, zachovává se i vzdálenost mezi bodem P a středem kružnice, tedy $\sqrt{m_p^2+n_p^2}=c$ je nezávislé na přímce p.

Rovnice přímky p v soustavě $S_p$ je $y=0$, takže průsečíky p a k v soustavě $S_p$ mají souřadnice $A=(m+\sqrt{r^2-n^2},0)$ a $B=(m+\sqrt{r^2-n^2},0)$. Vzdálenosti |PA| a |PB| nezávisí na soustavě, v které je počítáme, takže pro přímku p je spočteme v soustavě $S_p$.

$|PA|=|m+\sqrt{r^2-n^2}|\nl
|PB|=|m-\sqrt{r^2-n^2}|$

Vynásobením dostaneme

$|PA||PB|=|m_p+\sqrt{r^2-n_p^2}||m-\sqrt{r^2-n_p^2}|=|m_p^2-r^2+n_p^2|=|c^2-r^2|,$

výsledek tedy nezávisí na tom, jakou přímku procházející bodem P vezmeme.

Nejsem si vůbec jistý, nakolik je to korektní, ale snad to k tématu aspoň trochu přispěje.

Offline

 

#3 29. 08. 2012 17:38

check_drummer
Příspěvky: 3865
Reputace:   91 
 

Re: Komplexní body v reálné eukleidově rovině

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, děkuji za pěknou úvahu - za povšimnutí stojí zejména vhodná volba polohy přímky p.
Tedy obecně lze říci, že pokud ve výpočtech použijeme úpravy "společné" pro reálná i komplexní čísla, pak platí dané tvrzení i v komplexním oboru. (Ne vždy to však musí jít - např. pokud bychom v nějaké úvaze potřebovali porovnat dvě reálná čísla, pak tento postup v komplexním případě použít nejde.)
Druhá otázka týkající se "představení si" bodu s komplexními souřadnicemi v Eukleidově prostoru není pro další úvahy zas tak podstatná, spíš by mohla nějaké další úvahy usnadnit.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson