Matematické Fórum

Díky za reakci; jednotky jsou následující:
- rychlosti (cílová, počáteční, koncová) -
- maximální ryv (CZ Wiki, EN Wiki) - - jedná se o veličinu charakterizující změnu zrychlení v čase.
K zadání: Mám zadaný maximální ryv , maximální zrychlení , cílovou rychlost , počáteční rychlost a koncovou rychlost a dráhu (délku pohybu) . Cílem je na zadané dráze dosáhnout rychlosti , přičemž při rozjezdu a brždění musí mít zrychlení sinový průběh s maximální amplitudou přičemž nesmí být překročen maximální ryv . Pokud však nastane situace, kdy je cílová rychlost nastavena příliš vysoko a byl by překročen maximální ryv, nastupuje výše uvedený vztah, ze kterého by mělo být možno určit novou maximální rychlost , které lze při daném omezení dosáhnout.

Od napsání prvního příspěvku jsem udělal drobný pokrok; rovnici jsem vynásobil a toto násobení jsem zahrnul do . Poté jsem ručně (s pomocí Wolframu) umocňoval. Stačilo umocnit 2× a dostal jsem se rovnost dvou dlouhých výrazů. Obsahují však 6. mocninu, tudíž (pokud jsem správně pochopil), nelze získat obecné řešení. Výsledek z Wolframu přiládám na konci. Pokud jsem neudělal chybu, tak přes tento vztah nevede cesta k obecnému řešení. To by nutně nemuselo znamenat problém - dalo by se to řešit interpolací hodnot z předpočítané tabulky (nemůžu si dovolit v reálném čase počítat řešení interační či jinou metodou).

Byl bych však radši za obecné řešení. Jestli by tu byl zájem (neboli jestli by to vůbec někdo měl chuť číst), byl bych rád, kdybych tu uvedl můj kompletní úvahový postup a někdo další jej mohl zkontrolovat/přijít na nové řešení.

Výsledek z Wolframu (kde b=, o=, x=)

{{x -> Root[
    b^6 - 34 b^3 o^3 + o^6 + 8 b^3 S^2 + 8 o^3 S^2 + 
      16 S^4 + (2 b^5 + 48 b^2 o^2 + 62 b^3 o^2 + 206 b^2 o^3 + 
         2 o^5 + 8 b^2 S^2 + 8 o^2 S^2) #1 + (-b^4 - 16 b o - 
         64 b^2 o - 30 b^3 o - 160 b o^2 - 306 b^2 o^2 - 366 b o^3 - 
         o^4 - 8 b S^2 - 8 o S^2) #1^2 + (16 b + 16 b^2 - 2 b^3 + 
         16 o + 192 b o + 114 b^2 o + 112 o^2 + 498 b o^2 + 190 o^3 - 
         16 S^2) #1^3 + (-16 - 32 b - 15 b^2 - 128 o - 146 b o - 
         255 o^2) #1^4 + (16 + 16 b + 64 o) #1^5 &, 1]}, {x -> 
   Root[b^6 - 34 b^3 o^3 + o^6 + 8 b^3 S^2 + 8 o^3 S^2 + 
      16 S^4 + (2 b^5 + 48 b^2 o^2 + 62 b^3 o^2 + 206 b^2 o^3 + 
         2 o^5 + 8 b^2 S^2 + 8 o^2 S^2) #1 + (-b^4 - 16 b o - 
         64 b^2 o - 30 b^3 o - 160 b o^2 - 306 b^2 o^2 - 366 b o^3 - 
         o^4 - 8 b S^2 - 8 o S^2) #1^2 + (16 b + 16 b^2 - 2 b^3 + 
         16 o + 192 b o + 114 b^2 o + 112 o^2 + 498 b o^2 + 190 o^3 - 
         16 S^2) #1^3 + (-16 - 32 b - 15 b^2 - 128 o - 146 b o - 
         255 o^2) #1^4 + (16 + 16 b + 64 o) #1^5 &, 2]}, {x -> 
   Root[b^6 - 34 b^3 o^3 + o^6 + 8 b^3 S^2 + 8 o^3 S^2 + 
      16 S^4 + (2 b^5 + 48 b^2 o^2 + 62 b^3 o^2 + 206 b^2 o^3 + 
         2 o^5 + 8 b^2 S^2 + 8 o^2 S^2) #1 + (-b^4 - 16 b o - 
         64 b^2 o - 30 b^3 o - 160 b o^2 - 306 b^2 o^2 - 366 b o^3 - 
         o^4 - 8 b S^2 - 8 o S^2) #1^2 + (16 b + 16 b^2 - 2 b^3 + 
         16 o + 192 b o + 114 b^2 o + 112 o^2 + 498 b o^2 + 190 o^3 - 
         16 S^2) #1^3 + (-16 - 32 b - 15 b^2 - 128 o - 146 b o - 
         255 o^2) #1^4 + (16 + 16 b + 64 o) #1^5 &, 3]}, {x -> 
   Root[b^6 - 34 b^3 o^3 + o^6 + 8 b^3 S^2 + 8 o^3 S^2 + 
      16 S^4 + (2 b^5 + 48 b^2 o^2 + 62 b^3 o^2 + 206 b^2 o^3 + 
         2 o^5 + 8 b^2 S^2 + 8 o^2 S^2) #1 + (-b^4 - 16 b o - 
         64 b^2 o - 30 b^3 o - 160 b o^2 - 306 b^2 o^2 - 366 b o^3 - 
         o^4 - 8 b S^2 - 8 o S^2) #1^2 + (16 b + 16 b^2 - 2 b^3 + 
         16 o + 192 b o + 114 b^2 o + 112 o^2 + 498 b o^2 + 190 o^3 - 
         16 S^2) #1^3 + (-16 - 32 b - 15 b^2 - 128 o - 146 b o - 
         255 o^2) #1^4 + (16 + 16 b + 64 o) #1^5 &, 4]}, {x -> 
   Root[b^6 - 34 b^3 o^3 + o^6 + 8 b^3 S^2 + 8 o^3 S^2 + 
      16 S^4 + (2 b^5 + 48 b^2 o^2 + 62 b^3 o^2 + 206 b^2 o^3 + 
         2 o^5 + 8 b^2 S^2 + 8 o^2 S^2) #1 + (-b^4 - 16 b o - 
         64 b^2 o - 30 b^3 o - 160 b o^2 - 306 b^2 o^2 - 366 b o^3 - 
         o^4 - 8 b S^2 - 8 o S^2) #1^2 + (16 b + 16 b^2 - 2 b^3 + 
         16 o + 192 b o + 114 b^2 o + 112 o^2 + 498 b o^2 + 190 o^3 - 
         16 S^2) #1^3 + (-16 - 32 b - 15 b^2 - 128 o - 146 b o - 
         255 o^2) #1^4 + (16 + 16 b + 64 o) #1^5 &, 5]}}

Pokusím se zde napsat celou mou úvahu od začátku do konce, abych si vše znovu v hlavě utřídil. Té si třeba někdo všimne něčeho, co mi uniklo. Mým cílem je popsat pohyb robotického ramene po úsečce. Cílem je minimalizovat (až odstranit) silové rázy a dosáhnout maximální dynamiky pohybu.
Mechanickou kontrukci, respektive její limity, charakterizuji maximální dosažitelným zrychlením a maximálním ryvem (jerkem) .
Abych minimalizoval silové rázy, jakákoliv změna rychlosti je relizována pomocí zrychlení se sinovým průběhem.
Zadání dostávám ve tvaru počáteční rychlosti , požadované rychlost a požadované konečné (brzdné) rychlosti . Navíc dostávám počáteční a koncové souřadnice pohybu, z nichž určím délku úsečky, resp. dráhu .

Základní úvaha
Můj pohyb by měl mít 3 části - rozjedz, pohyb konstatní rychlostí a brždění. Rozjezd trvá dobu , bržedění trvá dobu . Jelikož zrychlení má mít sinový průběh, bude jeho rovnice vypadat následovně:

, kde je aktuální čas. Pokud budu mít amlitudu zrychlení zápornou a perioda bude , platí tento průběh i pro brždění.
Pokud tento výraz zintegruji a patřičně doplním, získám vztah pro aktuální rychlost při rozjezdu v čase t:

respektive bržední:

Pokud tento vztah znovu zintegruji, dostanu vztah pro dráhu uraženou za čas t při rozběhu:

resp. brždění:


Z výše uvedených vztahů můžu určit následující:
Pokud dosadím , dostanu vztah pro celkovou ujetou dráhu S při rozjezdu:

resp. brždění:

Pokud do vzroce pro rychlost dosadím , jsem schopen vyjádřit vztah pro periodu , tak abych při pohybu dosáhl zadané rychlosti , popř. brzdné rychlosti


Tím je popsán nejjednodušší případ. Výsledek těchto vzorců jsem zanesl do grafu závisloti jednotlivých veličin na čase. V tomto grafu si lze povšimnout rozjezdu, pohybu konstatní rychlostí a brždění. Také jsem do něj zanesl okamžitý ryv (pro další část tohoto příspěvku).


Kontrola vstupních dat
Vstupní data musím kontrolovat - může nastat situace, kdy nelze pomocí zadaného špičkového zrychlení dosáhnout na dráze zadané rychlosti . Musím tedy zjistit, jakou maximální rychlostí se můžu na zadané dráze pohybovat. Úvaha je následující:
Pohyb na dráze lze popst následovně:
, kde je dráha uražená při rozjezdu a je dráha uražená při brždění. Když celý vztah rozpeíšu dostanu následující:

Za a můžu dosadit výše uvedené vztahy ();
Po úpravě dostanu vzoreček pro maximální dosažitelnou rychlost v na dráze S:

Graf takového pohybu v závislosti na čase vypadá následovně:


Tuto úvahu mám již v praxi implementovanou a výsledky jsou více než uspokojivé. Jediný problém nastává u pohybů v malé rychlosti. Zatímco u pohybů ve velké rychlosti, kdy je potřeba mít dlouhou periodu je maximální ryv malý, resp. menší než mechanické možnosti, tak u malých rychlostí je díky malé periodě ryv obrovský - nad mechanické možnosti a je to znát. Je proto třeba zavést omezení ryvu.

Omezení ryvu
Vztah pro aktuální ryv získám derivací vztahu pro zrychlení; tedy:

Je zřejmé, že maximální ryv nastává při , tedy špičkový ryv je roven:

Díky tomuto vzorci lze zkonstuovat podmínku, zda-li není překročen maximální ryv. Pokud je překročen, je nutno určit nové hodnoty a .
To lze ze vztahu:
dosazením
Dostanu vztah:

Z něj lze uričt i novou hodnotu pro .
Toto je ta jednodušší situace.

Může však nastat situace, kdy i s nově dopočtenými omezenými hodnotami a nelze na dráze dosáhnout zadané rychlosti a musím určit její novou hodnotu. Zde jsem si uvědomil, že jsem udělal chybu, rovnice v prvním příspěvku je špatně. Správná rovnice vypadá následovně.
Postupuji podobně jako v případě bez omezení ryvu - jen můžu mít rozdílnou hodnotu amlitudy zrychlení pro rozjezd a brždění - proto zavádím a .


Kde:




A když dosadím, dostanu vztah:

Každopádně i když je tato rovnice trochu jiná než ta původní, stále nemůžu najít její řešení. A ani mě nenapadl jiný způsob, jak zavést omezení .

Doufá, že jsem vás tímto dlouhým příspěvkem neodradil. Bylo sice náročnější jej napsat, ale i kdyby nic, tak mi pomohl najít chybu v mém výpočtu.

Díky za reakci.
a) V této rovnici znám pouze , a . S poměrem to vypadá na zajímavý nápad - prověřím ho.
b)Ano, popisuje celý pohyb - není v něm konstatní složka - jelikož nejsem schopen zadané rychlosti (kterou bych se měl pohybovat) dosáhnout, tak se snažím pohybovat se co nejrychleji - tzn. zrychluji na nějakou špičkovou rychlost a ihned poté brzdím.

↑ yaqwsx:

já se do tohoto problému nemohu dostat. Mám takové "překážky":

a) v rovnici vůbec nevidím část pro ryv,

b) pokud je zrychlení podle harmonického průběhu (sinusoida), potom i rychlost podle harmonického průběhu ("cosinusoida") a to také v rovnici nevidím,

c) potom se mi zdá, že rychlost startovací a brzdicí spolu souvisí a zdá se, že celý průběh by šel rozdělit na dvě samostatné rovnice (ne součet , který pořád bude špatně upravitelný). A v těch samostatných rovnicích se pokusit hledat uplatnění poměrů časů.

Raději to nechám tak, jedině ještě jednou nabídnu přesun do Fyziky a přejmenování na nějaký příhodnější název tématu. Snad se toho ujme někdo z  odborných fyziků. Nebo konzultovat s vedoucím práce. Zdárné pokračování popřeji.

↑ jelena:
Možná ve vašich příspěvcích je zakódován klíč k řešení. Má úvaha o omezení ryvu asi není správná. Dnes jsem zkusil vyřešit rovnici Newtonovou metodou. Dostanu jeden reálný kořen, který projde zkouškou. Když však jeho výsledek dosadím do zbytku úvahy (tedy dosadím správné , , a ), tak pohyb probíhá špatně - maximální ryv sice sedí, ale urazím mnohem delší dráhu.
Svou úvahu budu muset nějak přehodnotit.

Už jsem zjistil, co mi uniká. Nastala drobná chybička při přepisu výstupu z Wolframu do C. Už jsem ji našel a opravil. Nyní hodnoty perfektně sedí (čímž vymizela i chyba - resp. je mnohem menší, než jsou mechanické limity)
Už vím, že rovnici jinak než numericky nevyřeším. Teď už si jenom vytvořím tabulku hodnot, abych mohl omezení ryvu provádět na ARMv7 procesoru. Doufám, že výsledek bude stát za to, když jsem s tím strávil tolik času.

První pokusy mám za sebou a hlásím, že to stálo za to. Pohyb je při malých rychlostech mnohem plynulejší. Děkuji za reakce, hodně mě popostrčily kupředu. Asi budu muset toto fórum navštěvovat častěji a zajisté ho i musím podpořit.

Rád bych se pochlubil i videem, ale myslím, že projekt zatím není ve stádiu, kdy je prezentovatelný (nyní mě čeká další - doufám poslední výzva - navazování přechodů mezi jednotlivými úseky (úsečkami, oblouky, atd) trajektorie).

Vytahuji toto mé staré téma. Ještě jednou bych chtěl vám všem poděkovat za pomoc. Vaše odpovědi mě častokrát nakoply správným směrem.
Dotáhnout projekt do nějaké prezentovatelné podoby dalo ještě hodně práce, ale konečně se mi to povedlo. Na tomto odkazu si můžete prohlédnout demonstrační video, které jsem vytvořil pro účely obhajoby práce na Středoškolské odborné činnosti.

↑ yaqwsx:

Zdravím a děkuji velice za ukázku projektu, úspěšnou obhajobu přeji. Dovolila jsem si přidat odkaz do tématu "Místní ruční práce" (odkazy v 2. příspěvku) (lze přidat také i do Odborných - pokud máš zájem, zatím jsem se řídila, že to ruční provedení je moc pěkné :-), gratuluji), děkuji.