Matematické Fórum

kar · 16. 11. 2008 11:44

$\lim_{n\rightarrow\infty}{(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\ldots+\frac{2n-1}{2^n})}$
$\lim_{n\rightarrow\infty}{((1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})\ldots(1-\frac{1}{n^2}))}$

Zdravím, vynechal jsem cvika a už mi došli nápady přes co do toho jít...

lukaszh · 16. 11. 2008 12:01

Pri tej prvej limite by som použil priamo určenie súčtu nekonečného radu
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}$
kde riešenie je tu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3937

Pavel · 16. 11. 2008 21:31 — Editoval Pavel (16. 11. 2008 21:33)

↑ kar:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{((1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})\ldots(1-\frac{1}{n^2}))}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2^2-1}{2^2}\cdot\frac{3^2-1}{3^2}\cdot\frac{4^2-1}{4^2}\cdot\frac{5^2-1}{5^2}\,\dots\,\frac{(n-2)^2-1}{(n-2)^2}\cdot\frac{(n-1)^2-1}{(n-1)^2}\cdot\frac{n^2-1}{n^2})=\nl=\lim_{n\to\infty}(\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot\frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4^2}\cdot\frac{4\cdot 6}{5^2}\,\dots\,\frac{(n-3)(n-1)}{(n-2)^2}\cdot\frac{(n-2)n}{(n-1)^2}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n^2})=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n})=\frac 12\,.$

Vtip je v tom, že se všechny prostřední členy vykrátí, zůstane pouze "začátek" a "konec" částečného součinu.

kar · 17. 11. 2008 09:59

Díky.

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2008 11:44

Limity

#2 16. 11. 2008 12:01

Re: Limity

#3 16. 11. 2008 21:31 — Editoval Pavel (16. 11. 2008 21:33)

Re: Limity

#4 17. 11. 2008 09:59

Re: Limity

Zápatí