Matematické Fórum

Exon · 03. 09. 2012 17:43

Prosím o nasměrování, pokud chci řešit extrémy funkcí F(x,y,z)=0 z(x,y)
Řešit extrémy explicitních funkcí třech proměnných umím, implicitní F(x,y)=0 také.

Příklad:
$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+8y+2z-38=0$

Výsledek je prý: Maximum [3,-4,7]; Minimum [3,-4,-9]

skoroakvarista

↑ Exon:
Zdravím, nehledal bych v tom žádnou složitost. Pro implicitní funkci z=z(x,y) postupujeme vlastně stejně jako v případě implicitní fce y=y(x).
Nutná podmínka - hledáme body podezřelé z extrému - získáme tedy dvě rovnosti $\frac{\partial z}{\partial x}=0 \land \frac{\partial z}{\partial y}=0$ . Z nich lehce zjistíme hodnoty souřadnic x,y. Jejich dosazením do rovnosti F(x,y,z)=0 zjistíme příslušné hodnoty souřadnice z.
Nyní je nutné ověřit existenční podmínku v nalezených bodech $\frac{\partial F}{\partial z}\neq 0$ , jestli rovnost F(x,y,z)=0 zadává implicitní funkci z(x,y) na okolí nalezených bodů. Mně vyšlo, že zadává na okolí (3,-4) s hodnotami 7 a -9.
Pak už stačí jen vyšetřit, jestli v nalezených bodech nastává extrém a případně jakého je typu.

Exon · 03. 09. 2012 20:12

Body mam spočítané (x=3, y=-4, z1=-9, z2=7). Co dosazuju do $\frac{\partial F}{\partial y}$ (2y+8)? Když tam dosadim souřadnici y=-4 tak to nulové výjde.

Existenci extrému určim existencí a znamínkem derivace:
$\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$ ?

děkuju

skoroakvarista · 03. 09. 2012 21:48

↑ Exon:
Omlouvám se, mám tam chybu a opravím ji. Samozřejmě má být $\frac{\partial F}{\partial z}\neq 0$ , také proto abychom nedělili nulou ve výrazu $\frac{\partial z}{\partial x}=- \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$ .
Existence a typ extrému se vyšetří pomocí druhého totálního diferenciálu funkce z v příslušném bodě - tedy je potřeba znát všechny 2. parciální derivace funkce z v příslušných bodech. Zde to vyjde hezky, ale používají se buď úpravy na čtverec a nebo Sylvestrovo kritérium.

Exon · 04. 09. 2012 14:18

druhý diferenciál mi vyšel 2*(x-3)^2+2*(y+4)^2+2*(z+9)^2
jak z toho poznám existenci a typ extrému v z = -9?

skoroakvarista · 04. 09. 2012 19:35

↑ Exon:
Jak jsi došel k těm koeficientům před jednotlivými diferencemi? Mám na mysli to "2-krát".
Řešíme funkci z(x,y), proto by se ve druhém totálním diferenciálu funkce z(x,y) neměly vyskytovat diference od z, ale jen od x a y. Obecně by měl 2. totální diferenciál funkce z(x,y) v bodě (x_0,y_0) vypadat následovně $\d^2 z_{(x_0,y_0)}(\d x, \d y)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x_0,y_0)\cdot \d^2x + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)\cdot \d x \d y +\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}(x_0,y_0)\cdot \d y \d x+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(x_0,y_0)\cdot \d^2y$ , kde dx představuje rozdíl (x-x_0), podobně dy.

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2012 17:43

Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

#2 03. 09. 2012 18:42 — Editoval skoroakvarista (03. 09. 2012 21:50)

Re: Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

#3 03. 09. 2012 20:12

Re: Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

#4 03. 09. 2012 21:48

Re: Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

#5 04. 09. 2012 14:18

Re: Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

#6 04. 09. 2012 19:35

Re: Lokální extrémy implicitních funkcí třech proměnných

Zápatí