Matematické Fórum

MaxDJs · 08. 09. 2012 22:17

$\sin$\frac{x}{2}$+\cos(x)=1$
$\sin$\frac{x}{2}$+\cos(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)$
$\sqrt{\frac{1-cos$x$}{2}}+\cos(x)=\sin^2(x)+1-\sin^2(x)$
$$\frac{1-cos(x)}{2}$^\frac{1}{2}+\cos(x)=\sin^2(x)+1-\sin^2(x)$

Bylo by možno poradit jak pokračovat?

Děkuji moc za pomoc

rleg · 08. 09. 2012 22:35 — Editoval rleg (08. 09. 2012 22:36)

↑ MaxDJs:
Ahoj
já bych to spíš upravil na tento tvar

$\sqrt{\frac{1-cos$x$}{2}}=1-\cos(x) \nl \frac{1-cos$x$}{2}=$1-\cos(x)$^2 \nl 2 \cos^2$x$-3\cos$x$+1=0$

pak by následovala substituce za cos(x) a obyčejná kvadratická rovnice.

MaxDJs · 08. 09. 2012 22:38

↑ rleg:

A mohl by jsi mi prosím tě vysvětlit proč je to lepší upravit takhle?

Díky

nejsem_tonda

↑ MaxDJs:

V podobnych rovnicich je prvnim krokem mit plan. Obecne bych plan nastinil tak, ze chceme ziskat jen jeden typ argumentu. V tomto pripade tedy vse prevest na argument $x$ , nebo vse prevest na argument $\frac{x}{2}$ . Pokracovanim planu je, ze chceme vse vyjadrit pomoci jedine funkce, zde vse pomoci $\sin$ , nebo vse pomoci nebo $\cos$ . Cely plan smeruje k tomu, ze vysledkem bude rovnice obsahujici jen jeden "objekt" a doufame, ze vznikla rovnice bude (vzhledem k tomuto objektu) jednoducha (treba kvadraticka).

Zde bych plan zvolil tak, ze pouzivany argument bude $\frac{x}{2}$ , tedy
$\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)^2 - \sin\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1$
Pokracovanim planu je, ze pouzivanou funkci bude (treba) $\sin$ , tedy
$\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \left( 1 - \sin\left(\frac{x}{2}\right)^2 \right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1$
Poslednim krokem tedy je, ze jsme dostali relativne jednoduchou rovnici pro objekt $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$

Je jasne, jak ulohu doresit a proc volime takovou strategii?

Omlouvam se za vstup, zacal jsem psat drive nez tady byly predchozi prispevky a ted se mi zda, ze by to mohla byt odpoved na MaxDJsovu otazku.

zdenek1 · 08. 09. 2012 22:56

↑ MaxDJs:
Ještě doplnění proč je jeden způsob lepší než druhý.
To co navrhuje ↑ rleg: není optimální postup, protože během něj umocňuje rovnici na druhou a to je NEEKVIVALENTNÍ úprava a na konci výpočtu proto musí udělat zkoušku. A to bývá u goniometrických rovnic nepříjemná záležitost.

To co navrhuje ↑ nejsem_tonda: je mnohem lepší, protože jeho úpravy jsou EKVIVALENTNÍ a zkoušku nemusíš dělat (pokud jsi si jistý, že neděláš numerické chyby)

Matematické Fórum

#1 08. 09. 2012 22:17

Goniometrické funkce v rovnici

#2 08. 09. 2012 22:35 — Editoval rleg (08. 09. 2012 22:36)

Re: Goniometrické funkce v rovnici

#3 08. 09. 2012 22:38

Re: Goniometrické funkce v rovnici

#4 08. 09. 2012 22:41 — Editoval nejsem_tonda (09. 09. 2012 00:05)

Re: Goniometrické funkce v rovnici

#5 08. 09. 2012 22:56

Re: Goniometrické funkce v rovnici

Zápatí