Matematické Fórum

drabi · 08. 09. 2012 21:13

Ahoj,
počítám momentálně příklady na lokální extrémy fce více proměnných, ale nevím si rady s tím, když mi 2.deferenciál vychází jako semidefinitní forma, jak pak mám určit, zda se jedná o extrém?
$f(x,y) = x^3 - y^3 + 2xy$
$\begin{vmatrix} 6x & 0 \\ 0 & -6y \end{vmatrix}$
$D_1 = -6y; D_2 = -36xy$

stacionární body mi vyšly: $A[0,0]; B[\frac23, -\frac23]$
pro $A : D_1 = 0, D_2 = 0$ tedy nelze určit zda se jedná o extrém
pro $B ; D_1 = 4 > 0, D_2 = 16 > 0$ tedy v B je lokální minimum.

ale jak mám zjistit, jestli v A je extrém?
třeba takto?
pro $x=y$ máme $f(x,x) = 2x^2 > 0$
pro $x=-y$ máme $f(x,-x) = 2x^2(x-1) > 0 \Leftrightarrow x \in (1,\infty)$
tedy v $[0,0]$ není extrém

je toto korektní zdůvodnění, nebo na to jdu špatně? Díky

jelena · 09. 09. 2012 09:22

Zdravím,

pokud jsem něco nepřehlédla, potom není

drabi napsal(a):
$\begin{vmatrix} 6x & 0 \\ 0 & -6y \end{vmatrix}$

ale $\begin{vmatrix} 6x & 2 \\ 2 & -6y \end{vmatrix}$

Potom by závěrem bylo, že v 0, 0 není lokální extrém. Souhlasí to? Děkuji.

drabi · 09. 09. 2012 10:35

↑ jelena:
ano, máš samozřejmě pravdu
ten determinant je
$\begin{vmatrix} 6x & 2 \\ 2 & -6y \end{vmatrix}$

V tom případě $D_1 = -6y$ a $D_2 = -36xy - 4$
pro $A[0,0]$ : $D_1 = 0, D_2 = -4$ forma je semidefinitní, nelze určit z toho, zda se jedná o extrém
pro $B\[\frac23,-\frac23\]$ : $D_1 = 4, D_2 = 12$ lokální minimum

takže ohledně toho bodu A budu rozhodovat, jako tady

pro $x=y$ máme $f(x,x) = 2x^2 > 0$
pro $x=-y$ máme $f(x,-x) = 2x^2(x-1) > 0 \Leftrightarrow x \in (1,\infty)$
tedy v $[0,0]$ není extrém

je to tak správně, nebo z čeho jsi určila, že bod A není extrém?
Díky moc

jelena · 09. 09. 2012 12:01

↑ drabi:

já jsem se dívala na $D_2<0$ , že můžeme jen vyloučit extrém, ale to asi nebude dostačující. Tak teď nevím, jak bych ještě prokázala.

drabi · 09. 09. 2012 12:05

↑ jelena:
ono, když ta kvadratická forma je semidefinitní, tak o tom, zda je v tom bodě extrém nebo ne, nejde rozhodnout. Takže jsem to zkoušela, co ta funkce bude dělat na přímkách x=y a x=-y, ale nevím, jak potom interpretovat výsledek:(

jelena · 09. 09. 2012 12:16

↑ drabi:

to máš pravdu. To nejsou jen přímky, co jsi použila, ale dokonce řezy rovinou x=y, x=-y (je tak?), co mají společný bod 0,0.

A podle Tvé interpretace v jednom řezu máme pouze kladné hodnoty, ale v druhém na intervalu (0, 1) jsou záporné, tedy plocha funkce f(x, y) netvoří ani "misku", ani "obracenou misku". Snad se toho ujme někdo odbornější zdatný, budu vděčná.

drabi · 09. 09. 2012 14:21

↑ jelena:
ano máš pravdu
ještě k tomu předchozímu, nějak jsem popletla Sylvestrovo kritérium, takže opravuji
$\begin{vmatrix} 6x & 2 \\ 2 & -6y \end{vmatrix}$
$D_1= 6x, D_2 = -36xy - 4$
takže pro
$A[0,0]$ :
$D_1 = 0, D_2 = -4$
$B\[\frac23,-\frac23\]$ :
$D_1 = 4, D_2 = 12$

ovšem na tom výsledku to nic nemění

drabi · 09. 09. 2012 15:27

tak hledala jsem k tomu příkladu nějaké materiály, které by mě mohly navést a našla jsem toto.
Jenže teď nevím, jak to interpretovat obecně, ve smyslu, abych to uměla použít i na jiné příklady:)

$f(A) = 0$
my jsme zjistili, že pro
$y = x$ , je $f(x,x) = 2x^2 > 0$
$y = -x$ je $f(x,-x) = 2x^2(x-1)$
takže jsme zjistili, že na libovolně malých okolí bodu $A$ fce $f$ nabývá menších i větších hodnot, než je funkční hodnota v bodě $A$ a tudíž zde nemá $f$ extrém

jelena · 10. 09. 2012 09:51

↑ drabi:

děkuji za další příspěvky, nechala jsem si to na promyšlení až půjdu Opavou. Pokud to porovnám s naši výukou, tak určitě teoretická báze nebude tak silná jak u vás a některé postupy jsou spíše praktického rázu.

Pokud je funkce spojitá (nebo alespoň na vyšetřované oblasti, kde je bod podezřelý z extrému), tak bych volila metodu řezu vhodnou rovinou (prakticky je to totéž, jak jsi vybrala přímky, nebo jak v odkazu je zvoleno z(x, 0) a prokázat, že se podaří najit alespoň jeden takový řez, ve kterém hodnota funkce může být vyhodnocena tak, jak jsme provedli:

- ↑ drabi: (doplnit, že na intervalu (0, 1) funkce $f(x,-x) = 2x^2(x-1)$ má záporné hodnoty. Tedy v jednom řezu $y=x$ nabývá pouze kladných hodnot (v okolí bodu (0, 0, 0), v takovém řezu bychom ještě neprokázali, že není extrém (pořád je podezření na minimum), ale v dalším řezu $y=-x$ již f(x, y) nabývala jak kladných, tak záporných hodnot, tedy větších a menších, než z=0.

- obdobně bych interpretovala i odkaz, co jsi umístila.

V knihách, co mám, taková situace (semidefinitní forma) je ošetřena pouze poznámkou, že se posuzuje individuálně :-) Větší povídání bylo v užití LA pro vyšetření funkce, ale tomu už zas nerozumím, tak nepovídám. Ale nijak podrobně jsem se nedívala, začátek školy mi vždy spolehlivě utlumí veškerou možnost uvažovat :-)

Věřím, že se Tobě bude věnovat někdo z více kompetentních kolegů, za což děkuji.

Rumburak

Zkoumat chování té funkce v okolí bodu [0, 0] (s ohledem na možnost extrému v něm) je velmi jednoduché (a účinné)
též na přímkách x = 0 resp. y = 0.

drabi · 10. 09. 2012 12:53

↑ Rumburak:
Ahoj, díky za radu:)
Takže pro
$f(0,y) =-y^3$ je $f>0 \Leftrightarrow y<0$ a $f>0 \Leftrightarrow y<0$
$f(x,0) =x^3$ je $f>0 \Leftrightarrow x>0$ a $f<0 \Leftrightarrow x<0$

takže jsme zjistili, že na okolí bodu $[0,0]$ funkce $f$ nabývá menších i větších hodnot, než 0, takže v $[0,0]$ není extrém
je ta interpretace správná?

↑ jelena:
děkuji mockrát, že ses mě ujala :) snad už to je teď správně

Rumburak · 10. 09. 2012 15:58

↑ drabi:
Ano, tato interpretace je správná. Ještě bych doplnil: na libovolném okolí bodu $[0,0]$ ... atd.

drabi · 10. 09. 2012 15:59

↑ Rumburak:
jj, děkuji mockrát:)

Matematické Fórum

#1 08. 09. 2012 21:13

lokální extrémy

#2 09. 09. 2012 09:22

Re: lokální extrémy

drabi napsal(a):

#3 09. 09. 2012 10:35

Re: lokální extrémy

#4 09. 09. 2012 12:01

Re: lokální extrémy

#5 09. 09. 2012 12:05

Re: lokální extrémy

#6 09. 09. 2012 12:16

Re: lokální extrémy

#7 09. 09. 2012 14:21

Re: lokální extrémy

#8 09. 09. 2012 15:27

Re: lokální extrémy

#9 10. 09. 2012 09:51

Re: lokální extrémy

#10 10. 09. 2012 10:45 — Editoval Rumburak (10. 09. 2012 10:52)

Re: lokální extrémy

#11 10. 09. 2012 12:53

Re: lokální extrémy

#12 10. 09. 2012 15:58

Re: lokální extrémy

#13 10. 09. 2012 15:59

Re: lokální extrémy

Zápatí