Matematické Fórum

NetFenix · 16. 11. 2008 10:49

Zdravím, řešil jsem nějaký příklad do kombinatoriky, ale vůbec netuším jestli jsem postupoval správně, tak jestli by se někdo mohl mrknout na tento příklad byl bych rád:

př.:
Kolik různých anagramů, které neobsahují slovo ANNA, vznikne ze slova ANAKONDA? Zdůrazněme, že písmena slova ANNA nemusí následovat bezprostředně po sobě. Tedy jak anagram "a A d k N o N A", tak anagram "o k d A N N A a" slovo ANNA obsahuje! Své řešení zdůvodněte!

můj postup:

nejdříve jsem si tedy napsal, kde se zbylé písmena mohou vyskytovat, tedy: _ A _ N _ N _ A _ , mohou se tedy vyskytovat na pěti místech a zbyli mi čtyři písmena KODA. tyto čtyři písmena pak můžu hodit na tyto pozice, a to asi následovně:
1) na jedno z míst umístím 4 písmena
2) na jedno místo umístím 3 písmena a na druhé místo 1 písmenko
3) na jedno místo 2 písmena a na druhé taky dvě písmena
4) na jedno místo 2 písmena a pak na druhé místo jedno a na třetí místo taky jedno
5) umístím na každé místo 1 písmeno (jedno místo bude tedy prázdné)

a teď ke každému výpočty:
1) 5*4! = 120
2) 2*(5*3!) = 60
3) 2*(5*2!*2!) = 40
4) 3*(5*2!*1!*1!) = 30
5) 4! = 24
celkem = 274

Ale netuším jestli je to dobrý postup, tak jestli by někdo pomohl, bylo by to super...

Kondr · 16. 11. 2008 12:43

Nejprve spočítejme slova, která slovo ANNA obsahují.

Tvoje myšlenka se vzory je správná. Problém ale je, že jedno z těch 4 písmen, co pak do vzoru dosazuješ, je taky A, takže třeba aannakod počítáš dvakrát. Postupoval bych tak, že bych si napsal všechny možné vzory

_A_A_N_N_A_
_A_N_A_N_A_
_A_N_N_A_A_

Když víme, jaký používáme vzor, můžeme každý anagram zakódovat pomocí K,O,D a pěti oddělovačů (ty pak při dekódování nahradíme písmeny A a N v pořadí daném vzorem -- třeba K|D||O|| se dekóduje podle prvního vzoru na kadanona). Jde nám tedy o permutace osmi objektů (3 písmena, 5 oddělovačů), z nichž 5 je nerozlišitelných. Takových možnstí je
8!/5!=336.
Pro všechny 3 vzory tedy máme celkem 3*336=1008 slov, které slovo ANNA obsahují.

Když tyto odečteme od celkového počtu anagramů slova ANAKONDA, dostaneme se ke kýženému výsledku.

NetFenix · 16. 11. 2008 13:22

Díky, takže kdybych to rozepsal tak by to vlastně bylo:

počet anagramů slova ANAKONDA: P(3,2,1,1,1) = 8!/(3!*2!) = 3360
a skrze ty vzory : P(5, 1, 1, 1) = 8!/5! = 336
pro tři vzory 336*3 = 1008

a nakonec 3360-1008 = 2352

No já jsem si právě říkal, jak to bude s tím vybráním těch dvou áček ze tří, ale tohle mě fakt nenapadlo udělat si ty vzory vlastně i s tím třetím áčkem, který vlastně může mít jenom jedno z těchto jasně daných pozic. No super řešení. Díky moc

NetFenix · 18. 11. 2008 14:50

Můžu se ještě zeptat proč se to odečítá od toho celkového počtu anagramů??? Vlastně už tím výpočtem 3*P(5,1,1,1) bych měl mít všechny anagramy, ne?

Kondr · 18. 11. 2008 18:28

↑ NetFenix:3*P(5,1,1,1) je anagramů, které OBSAHUJÍ slovo ANNA. My hledáme ty, které ho neobsahují.

NetFenix · 18. 11. 2008 18:52

Smutné, bohužel není to poprvé co si správně nepřečtu zadání. Horší je to ale při zkoušce:-). Díky moc

turcovsky · 01. 12. 2008 18:43

zdravím mohl bych se zeptat proč jsou jen tři vzory není jich náhodou více? co třeba vzor _A_A_N_A_N_ ten tam nepatří?

Kondr · 02. 12. 2008 12:08

↑ turcovsky:Já jsem vypisoval vzory slov, které obsahují slovo ANNA, ty jsou tři. Spočítal jsem kolik slov jim vyhovuje a ty odečetl od počtu všech anagramů.

Šlo by samozřejmě počítat přímo anagramy odpovídají vzorům, které ANNA neobsahují. Takových vzorů je 7 a ten tvůj mezi ně patří.

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2008 10:49

Kombinatorika-anagramy

#2 16. 11. 2008 12:43

Re: Kombinatorika-anagramy

#3 16. 11. 2008 13:22

Re: Kombinatorika-anagramy

#4 18. 11. 2008 14:50

Re: Kombinatorika-anagramy

#5 18. 11. 2008 18:28

Re: Kombinatorika-anagramy

#6 18. 11. 2008 18:52

Re: Kombinatorika-anagramy

#7 01. 12. 2008 18:43

Re: Kombinatorika-anagramy

#8 02. 12. 2008 12:08

Re: Kombinatorika-anagramy

Zápatí