Matematické Fórum

petulkacip · 18. 11. 2008 22:14

prosim o radu (vysvetleni) proc je v uvedenem priklade pouze k*pi a ne 2k*pi
nejak mi to v podstate unika u kazdeho prikladu...
prosim o radu jako pro nekoho, kdo tomu opravdu nerozumi
dekuju moc...

sin na druhou x - cos na druhou x = 0
-(cos na druhou x + sin na druhou x) = 0
-cos 2x=0

substituce: 2x=t

-cos t = pi\2 + k*pi (proc je tu jen k*pi a ne 2k*pi a jak to poznam i u dalsich pripadu - prosim o nejaky chytacek, ne odborny vyklad, to bych nepobrala

dekuju moc!!!

petulkacip · 18. 11. 2008 22:16

sel by vyse uvedeny priklad resit i rozkladem sin na druhou x - cos na druhou x = 0
sin na durhou x - 1 + sin na druhou x = 0
2sin na druhou x = 1

a jak by se potom postupovalo?

Olin · 18. 11. 2008 22:33

Já se moc nevyznám v tom zadání příkladu. Co je vlastně původní zadání? $\sin^2 x - \cos^2 x = 0$ ?

Druhý řádek by měl asi plynout z toho prvního, je v něm ale chyba - má pak být $-(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$ .

Nakonec z toho tedy plyne $\cos 2x = 0$ , po substituci $\cos t = 0$ .

(dále všude platí $k \in \mathbb{Z}$ )

$k \pi$ se ve výsledku vyskytuje proto, protože se jedná o speciální případ, kdy se sinus či kosinus má rovnat nule. Vezmi si, že kdybychom měli třeba řešit
$\cos \varphi = \frac 12$ ,
tak dostaneme 2 řešení s příslušnou periodou, tj.
$\varphi_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \nl \varphi_2 = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$

Když ale řešíme
$\cos \varphi = 0$
tak řešení jsou
$\varphi_1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\nl \varphi_2 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$

Protože ale od $\frac{\pi}{2}$ po $\frac{3\pi}{2}$ je to právě $\pi$ a stejně tak od $\frac{3\pi}{2}$ po $\frac{\pi}{2}$ je to taky $\pi$ , můžeme to zahrnout do jednoho výsledku
$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Zkus si dosadit za k různá celá čísla a uvidíš, že výsledky ti pokryjí všechny možnosti.

petulkacip · 18. 11. 2008 22:44

takze pokazde, kdyz je sinus ci kosinus roven nule, tak pisu urcity vysledek = k*pi a ne 2*k*pi
ale pokud je to rovno nejake promenne, tak je to 2*k*pi??

petulkacip · 18. 11. 2008 22:46

ale vysledky se potom daji nejakym zpusobem slucovat?? a vynechavat ta dvojka?

Olin · 18. 11. 2008 22:58

"pokud je rovno nějaké proměnné" - raději bych se vyvaroval termínu proměnná, jedná se o konstantu.

Ale ano, je to tak, že když je rovno nule, tak je tam jenom k*pi.

"ale vysledky se potom daji nejakym zpusobem slucovat?? a vynechavat ta dvojka?" - tak to bohužel nevím které výsledky máš teď na mysli.

Cheop · 19. 11. 2008 10:21 — Editoval Cheop (19. 11. 2008 10:28)

↑ petulkacip:
Zkusím Ti to vysvětlit takto:
Zadání:
$\cos^2x-\sin^2x=0$ protože je to vlastně vzorec pro cos2x pak substituce 2x =t
$\cos\,t=0\nlt_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi\nlt_2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ vrátíme se k substituci a dostaneme:
$2x=t\nl2{x_1}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\nlx_1=\frac{\pi}{4}+k\pi\nl2{x_2}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\nlx_2=\frac{3\pi}{4}+k\pi$

Tady jasně vidíš proč je ta perioda $k\pi$ ,protože musíš celý výsledek vydělit 2 včetně původní periody $2k\pi$

petulkacip · 19. 11. 2008 20:27

a dalo by se to nejakym zpusobem resit jako sin^2 x - cos^2 x =0; timhle vzorcem- sin^2x-1+sin^2x=0; 2sin^2 x = 1; dalo by se to nejak resit dal, nebo to je hovadina??

Cheop · 20. 11. 2008 12:44

↑ petulkacip:
Jasně, že by se to dalo podle tohoto řešit.
$2\sin^2x=1\nl\sin^2x=\frac 12\nl\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt 2}\nlx_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi\nlx_2=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\nlx_3=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\nlx_4=\frac{7\pi}{4}+2k\pi$
Kořen $x_3=x_1+\pi$
Kořen $x_4=x_2+\pi$ a z toho tedy můžeme psát:
$x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi\nlx_2=\frac{3\pi}{4}+k\pi$ a dostaneme stejný výsledek jako výše.