Matematické Fórum

lukasn · 19. 09. 2012 10:23

Zdravím, rád bych vás poprosil o pomoc s týmto príkladem

Sečtete
$\sum_{i=1}^{n}[\frac{i}{2}]$

Symbol [x] tu značí najmenšie celé číslo n, pro které je n <= x .

Videl som podobné príklady so sumou kde sa určovali postupne pre n sudé a n liché avšak neviem to na tomto dať nejak do hromady, zrejme tomu uplne nerozumiem.

Vedeli by ste mi s týmto pomoct?
Dakujem

skoroakvarista · 19. 09. 2012 11:09

↑ lukasn:
Také zdravím, zkus zvolit nějaká konkrétní n a vypsat si jednotlivé sčítance. Když je uvidíš na papíře, tak tě určitě trkne velmi známý vzoreček. Pak už stačí si jen trošku pohrát a nalézt tu správnou podobu vzorce pro obecné sudé i liché n. (Výsledek se dá upravit do poměrně hezkého tvaru.)

lukasn · 19. 09. 2012 13:26

Tak som teda skusil ako si vravel.

vypísal sem si sčítance pre n=8
$0+1+1+2+2+3+3+4$

Z toho mi vychádza, že ak bude n sudé tak budem mať

$0+1+1+\ldots +\frac{n}{2}$

Pro n liché je to zase

$0+1+1+\ldots +\frac{n-1}{2}$

A teraz neviem čo ďalej, čo treba spraviť?

skoroakvarista · 19. 09. 2012 13:49

↑ lukasn:
Když se na ty součty podíváš lépe, tak v případě lichého n sčítáš dvakrát k prvních přirozených čísel a v případě sudého n je tam ještě jeden sčítanec navíc. Je potřeba najít tvar toho k v závislosti na n a použít vzorec pro součet prvních k přirozených čísel.
Pro liché naznačím...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lukasn · 19. 09. 2012 18:28

Takže pri sudém sem se nakonec dostal k
$\sum_{i=1}^{n}[\frac{i}{2}]=2*\frac{\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1)}{2} - \frac{n}{2}$

Vychádza mi to pre 3 prípady, je to tak správne dúfam :)

Dekuji moc za radu

skoroakvarista · 19. 09. 2012 18:45

↑ lukasn:
Snad to bude i z mé strany dobře, vyšlo mi to také $\frac{n^2}{4}$ .

Matematické Fórum

#1 19. 09. 2012 10:23

Sečtete sumu

#2 19. 09. 2012 11:09

Re: Sečtete sumu

#3 19. 09. 2012 13:26

Re: Sečtete sumu

#4 19. 09. 2012 13:49

Re: Sečtete sumu

#5 19. 09. 2012 18:28

Re: Sečtete sumu

#6 19. 09. 2012 18:45

Re: Sečtete sumu

Zápatí