Matematické Fórum

Sulfan · 20. 10. 2012 14:01

Dobrý den,

počítám následující příklad:

$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\left ( 1-\frac{x^2}{2} \right )^{n}\cdot x^{2n+1}\text{dx}$

Tuším, že bych měl nějakým způsobem prohodit integrál a nekonečnou sumu, pokud bych uměl dokázat, že funkční řada je stejnoměrně konvergentní alespoň na $(0,1)$ .

Ze srovnávacího kritéria jsem dostal, že by řada mohla stejnoměrně konvergovat, jelikož

$\left (\forall x \in <0,1> \right )$ $\left | \left ( 1-\frac{x^2}{2} \right )^{n} \cdot x^{2n+1}\right |\leq \left | x^{2n+1} \right |=\left | x \right |^{2n+1}$

a řada $\sum_{n=1}^{+\infty}\left | x \right |^{2n+1}$ konverguje pro $\left | x \right |<1$ .

Můžu je přehodit a nekonečnou řadu sečíst - mohlo by to jít nějakým rozvojem, protože člen $x^{2n+1}$ vypadá podezřele, ale zase výraz neobsahuje faktoriál. Mohl by mi někdo poradit, jakým způsobem by se dala řada sečíst (jestli existuje třeba nějaký známý rozvoj)?

Děkuji.

kaja.marik

ja jsem dal substituci $\frac{x^2}{2}=t$ . Potom mi tam vyslo neco jako $2^n(1-t)^n t^n$ a pokud zasubstituuji tak, abych dostal $2^n\left(\frac 12 -s\right)^n\left(\frac 12 + s\right)^n$ tak budu mit $2^n\left(\frac 14-s^2\right)^n$ a to už by byla geometricka rada. Ale jenom jsem si to sketchnul na kousek novin, snad tam nemam chybu.

Sulfan · 20. 10. 2012 19:55 — Editoval Sulfan (20. 10. 2012 20:03)

Děkuji za odpověď, ale nějak nerozumím tomu, jak substituce proběhla. Pokud dosadím $\frac{x^2}{2}=t$ , tak mi vždy vyjde $2^n(1-t)^n t^n x$ , kvůli tomu, že je v mocnině x výraz $2n+1$ , kde dělám chybu?

Edit: vyřešeno - x se vyhodí před sumu, tímto způsobem:

$\int x \sum (1-t)^n2^nt^n \text{dx}=\int x\sum (2t(1-t))^n \text{dx} =\int_{0}^{1}\frac{2x}{2-2x^2+x^4}\text{dx}=\frac{\pi}{4}$

kaja.marik

↑ Sulfan:
jo aha, ten linearni posun do promenne s vlastne nebyl potreba. I kdyz ono se to pak vlastne stejne hodi pri vypoctu toho integralu.

K tomu x: ja jsem tu substituci delal v integralu a tam potom to x bylo soucasti vztahu mezi diferencialy.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2012 14:01

Záměna sumy a integrálu u funkční řady

#2 20. 10. 2012 17:19 — Editoval kaja.marik (20. 10. 2012 17:22)

Re: Záměna sumy a integrálu u funkční řady

#3 20. 10. 2012 19:55 — Editoval Sulfan (20. 10. 2012 20:03)

Re: Záměna sumy a integrálu u funkční řady

#4 20. 10. 2012 21:33 — Editoval kaja.marik (20. 10. 2012 21:36)

Re: Záměna sumy a integrálu u funkční řady

Zápatí