Matematické Fórum

mcnarik · 20. 10. 2012 21:12

Dobrý den,

už delší dobu mě trápí řešení následující úvahy:

Mějme nějaký objekt, pro jednoduchost např. kostku. Tato kostka snese statickou zátěž do 10kg. Tzn. když na ni položím závaží těžší než 10kg tak dojde ke zborcení stěn.
Nyní předpokládejme, že máme těleso o hmotnosti např. 2kg.

Otázka zní: z jaké maximální výšky můžeme toto těleso upustit na kostku aby ještě nedošlo ke zborcení stěn?
Případně: jakou maximální rychlost může mít těleso při střetu s kostkou aby ještě nedošlo ke zborcení stěn?

Veškeré podmínky lze uvažovat jako ideální.
Nejedná se o žádný úkol ani zadání z nějakého předmětu, jen mne to napadlo a zatím jsem nepřišel na vhodné řešení, což mne štve :)

Díky za radu/názor na řešení.

mcnarik

Jediné řešení které mne zatím napadlo je pomocí energií.

Obecně záleží na velikosti síly působící na kostku/tyč, nicméně tuto sílu lze transformovat na energii dle vzorce:
$E_{c}=E_{p}+E_{k}$
$E_{p}=m\cdot g\cdot h$
$E_{k}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$

kde uvažujme:
$h=1$ (nejsem si jist jak bych toto obhájil ale jde o to získat limitní energii než dojde ke zborcení stěn kostky/zlomení tyče)
$v=0$

Poté po dosazení:
$E_{c}=E_{p}+0\Rightarrow E_{c}=E_{p}$
$E_{c}=E_{p}=10\cdot 9,81\cdot 1=98,1 (J)$

Následně při upuštění tělesa pro výpočet limitní rychlosti použijeme:
$E_{c}=E_{p}+E_{k}$

z čehož plyne:
$v=\sqrt{\frac{2\cdot (E_{c}-m\cdot g)}{m}}$

Po dosazení:
$E_{c}=98,1J$ maximální dovolená energie
Následně velikost rychlosti pro těleso o hmotnosti 2kg tak aby výsledná energie byla rovna 98,1J.
$v=\sqrt{\frac{2\cdot (98,1-2\cdot 9,81)}{2}}\doteq 8,86 (m\cdot s^{-1})$

Maximální výška je tedy (využitím vzorců pro výpočet energií):
$h=\frac{v^{2}}{2\cdot g}=\frac{8,86^{2}}{2\cdot 9,81}\doteq 4(m)$

Po pár úpravách (v průběhu času), se mi toto řešení zdá konečně jako správné :)

pietro · 21. 10. 2012 12:08

↑ mcnarik: Ahojt, samotný výraz ..zborcení stěn... sa mi javí ako veľmi hrubý, nepresný v tejto našej jemno-mechanickej fyzike.:-)

Skúsim iný pohľad:

Nech "bortenie spôsobí impulz sily" a nech trvá 2 sekundy potom

http://cs.wikipedia.org/wiki/Impuls_s%C3%ADly

Hybnosť = impulz

m*v=F*t

2*v=10*9.81*2

a teda dvojkilové teleso musí mať rýchlosť 98.1 m/s aby sa svojou hybnosťou vyrovnalo impulzu dvojsekundovej sily.

Neviem posúdiť či ničiace dôsledky by mali byť rovnaké, to bude úloha asi na iné empirické vedy.

mcnarik

↑ pietro:

Uvědomuji si, že se dá polemizovat nad spoustou věcí v zadání ale já se nad tím zamýšlím z co nejideálnějšího pohledu. V tom případě na výrazu: zborcení stěn nevidím nic špatného.
Nicméně se opravdu nechci pouštět do debaty o použitých výrazech protože pro samotnou úvahu je to nepodstatné. Klidně použijte něco jiného, např.: zničená...

Nakonec, abych se vyhnul polemiky na toto téma, volím místo kostky třeba tyč zasazenou do stěny. Tyč je ideálně křehká atd.

Hybnost - Impulz síly se podle mého názoru nedá použít protože je třeba znát dobu/čas působení síly. Přičemž nevidím možnost jak tento čas určit. Bude-li např. kostka velmi tvrdá (a dojde ke zničení, prasknutí, zborcení kostky), čas působení síly na kostku bude velmi malý což přímo úměrně ovlivní velikost rychlosti.

Nějaký další nápad nebo vysvětlení proč impulz ano?

FliegenderZirkus · 21. 10. 2012 17:04

↑ mcnarik:

Nejjednodušší bude tzv. kvazistatická teorie rázu, zanedbají se napěťové vlny (rozkmitání) i ostatní dynamické efekty a řekne se, že potenciální energie padajícího tělesa na začátku se rovná deformační energii spodního tělesa na konci
$mg(H+\Delta l)=\frac{EA(\Delta l)^2}{2l}$ ,
kde spodní těleso je hranol o průřezu A a výšce l a modulu pružnosti v tahu/tlaku E, horní dokonale tuhé těleso hmotnosti m padá z výšky H a deformace je delta l. Odtud lze odvodit
$F_r=F_s\left( 1+\sqrt{1+\frac{2H}{\Delta l_s}} \right)$ ,
kde $F_s=mg$ je síla při statické zátěži, $\Delta l_s=\frac{mgl}{EA}$ je deformace při statické zátěži a $F_r$ značí dynamický silový účinek, tj. jak velká statická síla by vyvolala stejnou deformaci. Všimni si, že při dosazení H=0 (jen závaží položím) je silový účinek dvojnásobný, než při statickém=pomalém zatěžování.

Jestliže víš, že staticky dovolené napětí je $\sigma_D=\frac{m_Dg}{A}$ kide m_D je tvých 10kg, můžeš ho porovnat se vzniklým napětím $\sigma=\frac{F_r}{A}$ . Borcení stěn ale asi moc šťastný pojem není.

Jakmile tam nějak zakomponujeme čas, tak máme neznámou navíc. Kdybychom ji ale nějak určili, tak by postup přes impuls ↑ pietro: byl asi lepší...ale nic moc o téhle problematice nevím. Zkuste hledat „rázy a vlny v tělesech“.

pietro · 22. 10. 2012 19:56

Ahojte!
Náhradný experiment by mohol byť?

Predstavme si, že miesto kocky je tam pružina s takou tuhosťou, že pri statickej hmotnosti 10 kg sa stlačí o 0.05m.

Z akej výšky musíme pustiť 2kg, aby sa dosiahlo stlačenie tejto pružiny o 0.05m?

FliegenderZirkus · 22. 10. 2012 20:13

↑ pietro:

Za předpokladu platnosti Hookeova zákona (malé deformace, lineární materiál) je každý válec namáhaný ve směru osy pružinou o tuhosti $k=\frac{EA}{l}$ .

pietro · 23. 10. 2012 11:01

↑ FliegenderZirkus: ďakujem Ti za poskytnuté. Vlastne to smeruje k Tvojmu príspevku #5.

( Ja by som si to chcel pre seba vyriešiť, ale najprv pre pružinu)

mcnarik · 23. 10. 2012 12:33

Podle mého názoru v konečném důsledku nezáleží na tvaru objektu. Jde o to zjistit, jaká výška/rychlost vytvoří stejně velkou energii jako při statické zátěži.
Představím-li si místo kostky např. skleněný prut zasazený do stěny. Přičemž tento prut vydrží zátěž max. 10kg a pak se ideálně (okamžitě) zlomí. Tak nezáleží na tvaru prutu pokud řešíme pouze stav zlomen/nezlomen.

To stejné platí i pro pružinu. Pokud řešíme stav 0m/0,05m tak nás nezajímají chrakteristiky pružiny protože ty jsou v podstatě stanoveny těmi stavy které známe. Řešíme pouze energii potřebnou k dosažení toho stavu.

V počátku jsem měl problém určit tu počáteční energii z 10kg. Nyní, když nad tím tak přemýšlím, tak se přikláním k tomu, že je velikostí shodná s gravitační silou. Tzn. počáteční energie je 100J v obou případech a již jde jen o to zjistit při jaké výšce pádu, či při jaké rychlosti získáme stejnou energii která způsobí daný jev.

marshallaw4 · 23. 10. 2012 13:50

toto je presna otazka na kterou sem si podal pred nejakou dobou... kdyz mas hybnost tak tam se vlastne m/s rovna kg. proste me napadlo jestli to neni ze sila kera na to pusobi je F=mgv. a jak jsem to zkousel experimentalne tak to celkem fungovalo. proste je-li v vesti jak 1 plati tam toto

marshallaw4 · 23. 10. 2012 13:53

tudiz je-li rychlost 2 m/s je to jako by tam bylo 2* tezsi teleso. Pak ma li neco nosnost 10kg a spadne na to neco o hmotnosti 5kg s rychlosti 3 m/s prekroci to nosnost. Taky to potom pusobi jako byste na to polozili neco o hmotnosti 15kg

mcnarik

↑ marshallaw4:

Bohužel jsem musel upravit řešení, protože jsem se dopustil chyby.
Po úpravě tedy platí:

tudiz je-li rychlost 2 m/s je to jako by tam bylo 2* tezsi teleso

Ekvivalent 2* těžšího tělesa podle rychlosti lze počítat následovně:
$v=\sqrt{2\cdot g}\doteq 4,43 (m\cdot s^{-1})$
Přičemž se jedná o pád z výšky:
$h=\frac{v^{2}}{2\cdot g}=\frac{4,43^{2}}{2\cdot 9,81}\doteq 1m$
Takže při dopadu z jednoho metru bude těleso působit na podložku stejně jako dvakrát těžší těleso které na podložce jen stojí (což mě celkem překvapuje a bylo by super to otestovat).

Obecně to lze vyjádřit tak, že násobek ekvivalentu hmotnosti podle rychlosti je:
$k=1+\frac{v^{2}}{2\cdot g}$
nebo obráceně, rychlost dle násobku ekvivalentu hmotnosti je:
$v=\sqrt{2\cdot g\cdot (k-1)}$

Pak ma li neco nosnost 10kg a spadne na to neco o hmotnosti 5kg s rychlosti 3 m/s prekroci to nosnost.

Celková energie statického tělesa:
$m=10 kg$
$h=1 m$
$E_{c}=E_{p}=98,1J$

Celková energie dopadajícího tělesa:
$m=5 kg$
$v=3 m\cdot s^{-1}$
$h=1 m$
$E_{c}=E_{p}+E_{k}=m\cdot g\cdot h+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$
$E_{c}=5\cdot 9,81\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^{2}=71,55J$
Takže nosnost překročena NEBUDE.

Ekvivalent hmotnosti lze spočítat následovně:
$m_{stat.}=m_{dyn.}\cdot (1+\frac{v^{2}}{2\cdot g})$
$m_{stat.}=5\cdot (1+\frac{3^{2}}{2\cdot 9,81})=7,29kg$

pietro · 24. 10. 2012 17:06

Ahojte!

Ak by bol záujem o pád guličky hmotnosti m na pružinu, teda bez deštrukcie.

Gulička sa dotkne pružiny rýchlosťou v. Bod dotyku je x=0,y=0.

Pružina sa stláča v smere osi y nadol. Konštanta pružiny = k.

Časový priebeh y súradnice je riešením difer.rovnice.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-g … 280%29%3Dv

Pre konkrétne hodnoty g=9.81, m=2kg, k=0.05, v=-30m/s, t =0..40s

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … +t%3D0..40

Petrík Juraj · 12. 06. 2013 14:04

↑ FliegenderZirkus[/r[re]p310150:
Ďakujem to je ono!

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2012 21:12

Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#2 20. 10. 2012 21:56 — Editoval mcnarik (23. 10. 2012 18:41)

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#3 21. 10. 2012 12:08

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#4 21. 10. 2012 15:01 — Editoval mcnarik (23. 10. 2012 18:42)

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#5 21. 10. 2012 17:04

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#6 22. 10. 2012 19:56

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#7 22. 10. 2012 20:13

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#8 23. 10. 2012 11:01

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#9 23. 10. 2012 12:33

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#10 23. 10. 2012 13:50

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#11 23. 10. 2012 13:53

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#12 23. 10. 2012 16:42 — Editoval mcnarik (23. 10. 2012 17:32)

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#13 24. 10. 2012 17:06

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

#14 12. 06. 2013 14:04

Re: Odolnost objektu při statické a dynamické zátěži

Zápatí