Matematické Fórum

ajeto · 20. 10. 2012 16:15 — Editoval ajeto (20. 10. 2012 21:40)

Dobrý deň,

mám vektorový priestor $X$ všetkých spojitých funkcií na intervale $[0,1]$ takých, že platí
$\int_{0}^{1}\frac{(f(t))^2}{t}\,\mathrm{d}t<\infty$

na ktorom je definovaný skalárny súčin predpisom

$\langle f,g \rangle = \int_{0}^{1} \frac{f(t)\,g(t)}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Otázka znie, či je priestor $X$ so skalárnym súčinom $<.,.>$ Hilbertov.

Predpokladám, že metrika v priestore $X$ odvodená z normy odvodenej zo skalárneho súčinu
vyzerá nejak takto

$d(f,g)=\|f-g\|=\sqrt{\langle f-g,f-g\rangle}=\sqrt{\int_{0}^{1}\frac{(f(t)-g(t))^2}{t}\,\mathrm{d}t}$

a teraz môžem buď ukázať že každá postupnosť ktorá je fundamentálna v $(X,d)$ má v $X$ limitu,
alebo nájsť konkrétnu postupnosť funkcií ktorá je v $(X,d)$ fundamentálna a jej limitou vzhľadom na $d$
je funkcia ktorá nepatrí do $X$ .
Nepodarilo sa mi však ani jedno ani druhé.

Vďaka za každé usmernenie.

Pavel Brožek

↑ ajeto:

Ahoj, zkusil bych najít posloupnost funkcí z X, které budou konvergovat k $H$x-\frac12$$ , kde H je Heavisideova funkce. $H$x-\frac12$$ není na intervalu $[0,1]$ spojitá, takže nebude z X.

Brano · 21. 10. 2012 11:47

Este jeden maly hint snad nepokazi zabavu. V prikladoch tohoto typu skoro vzdy staci uvazovat linearne lomene funkcie.

ajeto · 24. 10. 2012 23:58

↑ Pavel Brožek: ↑ Brano: vďaka za radu,
skúšal som, zatiaľ bez úspechu

Pavel Brožek · 25. 10. 2012 00:06

↑ ajeto:

Co třeba funkce

$f_n(x)=\begin{cases} 0&\mbox{pro }x\in\[0,\frac12-\frac1n\]\\ \frac12+\frac n2$x-\frac12$&\mbox{pro }x\in$\frac12-\frac1n,\frac12+\frac1n$\\ 1&\mbox{pro }x\in\[\frac12+\frac1n,1\]\\ \end{cases}$

ajeto · 25. 10. 2012 00:26

↑ Pavel Brožek:

skúšal som niečo podobné, ale príliš komplikované
skúsim toto, vďaka.

ajeto · 10. 11. 2012 21:54 — Editoval ajeto (10. 11. 2012 22:26)

Dobrý večer

skúšal som aj túto postupnosť funkcií navrhnutú v ↑ Pavel Brožek:,

pri počítaní $d(f_m,f_n)$ som sa dostal k funkcii tvaru

$\sqrt{2}\bigg[f_1(m,n)\ln{(g_1(m,n))}+h(m,n)+f_2(m,n)\ln(g_2(m,n))+2m+n\bigg]^{\frac{1}{2}}$

kde sa mi zdá byť dosť veľkým problémom práve tá posledná časť $2m+n$ ,
z toho zrejme fundamentálnosť postupnosti $\{f_n\}$ nevytlčiem
(tento výraz sa tam s ničím nevykráti pod odmocninou)

je tá postupnosť určite fundamentálna v uvedenej metrike?

vychádzal som z predpokladu $m>n$ a

$d(f_m,f_n)=\Bigg[ 2 \Big( \int_{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{m}} \frac{(f_n(t)-0)^2}{t}\mathrm{d}t +\int_{\frac{1}{2}-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{2}} \frac{(f_n(t)-f_m(t))^2}{t}\mathrm{d}t \Big) \Bigg]^{\frac{1}{2}}$

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 23:29

↑ ajeto:

Já bych to vůbec takhle neintegroval až do konce, ty integrály bych odhadl. V čitateli i jmenovateli máš kladné číslo. Čitatele odhadni maximem, které v obou případech nemůže být větší než $2^2$ . Jmenovatele odhadni něčím malým, třeba 0,1, to pro dostatečně velká m a n půjde. Integruješ pak už jen konstatní funkci. A velikost těch intervalů, přes které se integruje, půjde do nuly.

Snad jsem ten postup naznačil srozumitelně :-)

ajeto · 11. 11. 2012 04:06

áno ↑ Pavel Brožek:, zrozumiteľne

škoda že ma táto jednoduchšia cesta nenapadla predtým,
než som sa pokúšal presne spočítať tie integrály :)

vďaka

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2012 16:15 — Editoval ajeto (20. 10. 2012 21:40)

Hilbertov priestor

#2 21. 10. 2012 11:30 — Editoval Pavel Brožek (21. 10. 2012 11:31)

Re: Hilbertov priestor

#3 21. 10. 2012 11:47

Re: Hilbertov priestor

#4 24. 10. 2012 23:58

Re: Hilbertov priestor

#5 25. 10. 2012 00:06

Re: Hilbertov priestor

#6 25. 10. 2012 00:26

Re: Hilbertov priestor

#7 10. 11. 2012 21:54 — Editoval ajeto (10. 11. 2012 22:26)

Re: Hilbertov priestor

#8 10. 11. 2012 23:29

Re: Hilbertov priestor

#9 11. 11. 2012 04:06

Re: Hilbertov priestor

Zápatí