Matematické Fórum

010010 · 22. 10. 2012 23:55

Dobrý deň.

Mám problém s pochopením riešenia príkladov podobných tomuto→

Uvažujme pod-množiny S a T vektorového podpriestoru R^3, ktoré sú určené takto. Máme rozhodnúť či množina S resp. T je lineárnym podpriestorom R^3.

S={(x,y,z); x^2 + y^2 =0}
T={(x,y,z); x^2 + z^2 =1}

Odpovede by mali byť S- ano T- nie
Pozeral som do skrípt, ale stále som neprišiel na to, ako mám takýto problém riešiť. Akým spôsobom. Definíciu podpriestoru a jeho podmienky poznám. Ale nikde tam nevidím nejak súvisloti, podľa čoho to presne určiť :/

Teda množiny S a T sú neprázdne.
A pokiaľ sa nemýlim aj keď vynásobím vektory skalárom, tak predpokladám že sú množiny uzavreté vzhľadom k operácii násobenia aj sčítania vektorov skalármi :/

Chcel by som vedieť teda nejaký slušný postup ako na to prídem aj v iných prípadoch, nie len v tomto.

Ďakujem za pomoc.

Blackflower · 23. 10. 2012 00:03

http://msleziak.com/vyuka/2012/la/04vpry.pdf
Na kraji si vyhľadaj podpriestory. Sú tam v podstate dve podmienky, ktoré sa neskôr zlučujú do jednej. Podľa mňa stačí overiť tie.

010010 · 23. 10. 2012 00:16

Skriptá som už pozeral rôzne.
Vo všetkých sú zrejme tie isté podmienky, ak sa jedná o tú istú problematiku. Takže podmienky a kritéria poznám.
Ide mi skôr o tú jednoduchšiu interpretáciu problematiky.

010010 · 23. 10. 2012 20:03

Pomôže mi niekto ? :/

Andrejka3 · 23. 10. 2012 20:16

Ahoj, píšeš:

010010 napsal(a):
Teda množiny S a T sú neprázdne.
A pokiaľ sa nemýlim aj keď vynásobím vektory skalárom, tak predpokladám že sú množiny uzavreté vzhľadom k operácii násobenia aj sčítania vektorov skalármi :/

Jak předpokládáš? To je právě to, co máš ověřit - uzavřenost na ty operace.

010010 · 23. 10. 2012 20:22

Andrejka3 napsal(a):
Ahoj, píšeš:
010010 napsal(a):
Teda množiny S a T sú neprázdne.
A pokiaľ sa nemýlim aj keď vynásobím vektory skalárom, tak predpokladám že sú množiny uzavreté vzhľadom k operácii násobenia aj sčítania vektorov skalármi :/
Jak předpokládáš? To je právě to, co máš ověřit - uzavřenost na ty operace.

Ja viem. Ale ja vidím všade, že ako keby všetky množiny boli uzavreté na operácie. A všetky nemôžu byť podpriestorom.

Známe množiny ako: R,I,Q,Z,N sú všetky uzavreté na operácie nás. a sčít.

user · 23. 10. 2012 20:34

Nastíním: pro množinu T, aby byla uzavřená, tak musí platit:
$(\forall x,y\in T)(x+y\in T)$
Např.
$x=(1,0,0)$
$y=(0,0,1)$
oba leží v T.
ale $x+y=(1,0,1) \not \in T$ .
Tedy množina není uzavřená vůči sčítání. Ukázat to pro násobení číslem z tělesa by bylo obdobné.

Andrejka3

↑ 010010:
Píšeš:
Známe množiny ako: R,I,Q,Z,N sú všetky uzavreté na operácie nás. a sčít.
I není uzavřené, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$ .
Edit: Je to jedno, nevím vlastně, jak si definujete I.

To je ale jiné tvrzení než že R,Q,Z,N jsou podprostorem $R^3$ .
Vektorový prostor V nad tělesem T se píše takto: $V(T)$ . Uzavřenost na násobení skalárem je tato podmínka:
$\forall \alpha \in T \: \forall v \in V: \alpha \cdot v \in V$ .
Všimni si, že tam jsou dvě množiny - jedna je $V$ - množina vektorů, $T$ - množina skalárů.

V našem případě, máme $\mathbb{R}^3(\mathbb{R})$ . To se implicitně předpokládá. Takže těleso je $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{N}$ není podprostorem $\mathbb{R}$ nad tělesem $\mathbb{R}$ . Protože:
volme skalár $\pi \in \mathbb{R}$ .
$\pi \cdot n \notin \mathbb{N}$ .

Podobně, $\mathbb{Z} (\mathbb{R})$ není podprostorem $\mathbb{R}(\mathbb{R})$ a podobně lze ukázat, že
R,I,Q,Z,N nejsou podprostory $R^3$ :
$\pi \cdot (m,n,p) = (\pi m, \pi n, \pi p)$ .

Andrejka3

Upřesním ten konec.

Andrejka3 napsal(a):
↑ 010010:
Podobně, $\mathbb{Z} (\mathbb{R})$ není podprostorem $\mathbb{R}(\mathbb{R})$ a podobně lze ukázat, že
R,I,Q,Z,N nejsou podprostory $R^3$ :
$\pi \cdot (m,n,p) = (\pi m, \pi n, \pi p)$ .

Chtěla jsem napsat.
... a lze ukázat, že $I^3,Q^3,Z^3,N^3$ nejsou podprostory $R^3$ . Bez těch ''mocnin'' by to platilo triviálně, protože v prvé řadě musí být podprostor (jeho nosič) podmnožinou toho prostoru (jeho nosiče).

edit:
Ať nemám pocit, že jsem nic nevysvětlila, dám řešení pro množinu T={(x,y,z); x^2 + z^2 =1}

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2012 23:55

Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#2 23. 10. 2012 00:03

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#3 23. 10. 2012 00:16

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#4 23. 10. 2012 20:03

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#5 23. 10. 2012 20:16

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

010010 napsal(a):

#6 23. 10. 2012 20:22

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

Andrejka3 napsal(a):

010010 napsal(a):

#7 23. 10. 2012 20:34

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#8 23. 10. 2012 20:37 — Editoval Andrejka3 (23. 10. 2012 20:39)

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

#9 23. 10. 2012 21:14 — Editoval Andrejka3 (24. 10. 2012 01:01)

Re: Tvorí množina vektorový podpriestor ?

Andrejka3 napsal(a):

Zápatí