Matematické Fórum

lenibebi

Ahoj, mám problém s tímto příkladem. Už ho řeším asi hodinu a furt jsem se k ničemu pořádnýmu nedostala. Tak jestli by mi to někdo zkusil zpočítat prosím.

$lim_{x\Rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{27+x} - \sqrt[3]{27-x} }{x+2*\sqrt[3]{x^{4}}}$

Andrejka3 · 25. 10. 2012 20:57

$a^n-b^n=(a-b) \:\sum_{i=0}^{n-1}a^ib^{n-1-i}$ .
Zkus to využít.

lenibebi

No já to dělala podle klasickýho vzorce $x^{3} - y^{3}$ ale stejně to nešlo.

Andrejka3 · 25. 10. 2012 21:01

↑ lenibebi:
Tak napiš, jak jsi to dělala. Podle mě by to tak mělo jít.

lenibebi

No dobře :D teda ale přepsat to bude fuška

takže rozšířila jsem to o tu druhou část vzorečku $* \frac{(\sqrt[3]{27+x})^{2} + (\sqrt[3]{27+x})* (\sqrt[3]{27-x}) + (\sqrt[3]{27-x})^{2}}{(\sqrt[3]{27+x})^{2} + (\sqrt[3]{27+x})* (\sqrt[3]{27-x}) + (\sqrt[3]{27-x})^{2}}$

z toho mi vyšlo
$\frac{27+x-27+x}{(x+2x\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{27+x})^{2} + (\sqrt[3]{27+x})* (\sqrt[3]{27-x}) + (\sqrt[3]{27-x})^{2}}$
tam se to pak požralo plus to x na čtvrtou jsem hodila z části před odmocninu takže dál:

$\frac{2x}{(x+2x\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{27+x})^{2} + (\sqrt[3]{27+x})* (\sqrt[3]{27-x}) + (\sqrt[3]{27-x})^{2}}$

pak to začlo bejt trošku nepřesný.. hodila jsem si trojky před odmocniny
$\frac{2x}{(x+2x\sqrt[3]{x})(3\sqrt[3]{x})^{2} + (3\sqrt[3]{x})* (3\sqrt[3]{-x}) + (3\sqrt[3]{-x})^{2}}$

no dál a dál už to nějak nešlo... ale je dost možný že jsem ty trojky před to házet neměla ... nebo mohla? :D já už fakt nevim...

Andrejka3

Díky, moc se v tom nevyznám, tak zkusím psát já:
$lim_{x\Rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{27+x} - \sqrt[3]{27-x} }{x+2*\sqrt[3]{x^{4}}}$
$a=(27+x)^{1/3}, \; b=(27-x)^{1/3}$
Rozšíříme výraz v limitě zlomkem $\frac{a^2+ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$ .
Rovnou použijeme větu o limitě součinu, protože je $\lim \frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3\cdot 3^2}$ .
Kdežto v čitateli se nám vytvoří $a^3-b^3=(27+x)-(27-x)=2x$ .
Dostaneme
$=\frac{1}{3^3}\lim \frac{x}{x}\frac{2}{1+2x^{1/3}} = \frac{2}{3^3}$ , jestli se nepletu.

lenibebi · 25. 10. 2012 21:50

Seš génius ale ještě bych tě chtěla poprosit o upřesnění tohohle
$\lim \frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3\cdot 3^2}$

nějak totiž nechápu co jsi do toho dosadila že ti to tak pěkně vyšlo... mě tam totiž z toho vyjdou všude odmocniny

Andrejka3

↑ lenibebi:
Nejsem, právě jsem si všimla, že to máš stejně, až na ten jmenovatel. :D
Roznásobit ho třeba nebylo.
$\lim \frac{1}{a^2+ab+b^2}$
Stačí dosadit za $x$ nulu, protože ta fce je spojitá v nule. takže ti tam z každého $a$ nebo $b$ vznikne $(27)^{1/3}=(3^3)^{1/3}=3$ .
a^2+ab+b^2
Z toho vyjde tedy 3 krát stejný součin, tedy 3 krát něco. A to něco je 3krát3, protože tam jsou vždy dvě písmenka násobená.

lenibebi · 25. 10. 2012 22:10

Ježiš já musim vypadat tak tupě :D

Asi ti umusim říct přesně co nechápu

$lim \frac{2x}{(x+2x\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{27+x)(27+x)} +\sqrt[3]{27+x)(27-x)} - \sqrt[3]{27-x)(27-x)}}$

pak teda dosadim podle tebe za x nuly a stejně dělim nulou

lenibebi · 25. 10. 2012 22:16

Vydíš a už to mam špatně :D tam nemá bejt mínus
$lim \frac{2x}{(x+2x\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{27+x)(27+x)} +\sqrt[3]{27+x)(27-x)} + \sqrt[3]{27-x)(27-x)}}$

tohle se děje když se v tom motám už 2 hodiny a půl

lenibebi · 25. 10. 2012 22:23

tak jako teď jsem teda spočitala tu závorku s těma odmocninama a dostadila jsem za 0 za x a vyšlo mě 9+9+9 což by teda podle mejch výpočtů mohlo bejt 27 :D
ale furt mě tam nějak trápí ta druhá závorka která mi z toho dělá nulu

lenibebi · 25. 10. 2012 22:25

HA!!! já už vim!! :Djá si tam nevytkla to x

děkuju moc za nakopnutí

Andrejka3

↑ lenibebi:
Symbolicky:
Příklad je $\lim f(x)$ . Děláme tohle:
$\lim f(x) = \lim f(x) \cdot \frac{g(x)}{g(x)}$ . To je pravda, protože existuje okolí nuly, kde $g(x) \neq 0$ .
$=\lim \color{red}{f(x) g(x)}\color{black} \cdot \color{blue}\frac{1}{g(x)}\color{black}= \lim \color{red}k(x)\color{black} \cdot \color{blue}l(x)\color{black}$ .
Pokud existují obě limity - tj. $\lim k(x)$ a $\lim l(x)$ , pak existuje i limita jejich soucinu a rovna se soucinu jejich limit, tj. $\left( \lim k(x)l(x) \right)= \left( \lim k(x) \right) \cdot \left( \lim l(x) \right)$ .
Nám vyšlo, že opravdu obě limity existují a jejich součin se tedy rovná původní limitě -- to je věta o limitě součinu.

lenibebi · 25. 10. 2012 22:29

No tuhle teorii znám :) horší je ji použít do praxe. Děkuju moc :) Jo a náhodou jestli bys ještě nevěděla odpověď na tohle http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=9497 to je jen taková rychlovka po tomhle :D

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2012 20:40 — Editoval lenibebi (25. 10. 2012 20:40)

Limita

#2 25. 10. 2012 20:57

Re: Limita

#3 25. 10. 2012 20:58 — Editoval lenibebi (25. 10. 2012 20:58)

Re: Limita

#4 25. 10. 2012 21:01

Re: Limita

#5 25. 10. 2012 21:17 — Editoval lenibebi (25. 10. 2012 21:18)

Re: Limita

#6 25. 10. 2012 21:42 — Editoval Andrejka3 (25. 10. 2012 21:43)

Re: Limita

#7 25. 10. 2012 21:50

Re: Limita

#8 25. 10. 2012 21:55 — Editoval Andrejka3 (25. 10. 2012 21:55)

Re: Limita

#9 25. 10. 2012 22:10

Re: Limita

#10 25. 10. 2012 22:16

Re: Limita

#11 25. 10. 2012 22:23

Re: Limita

#12 25. 10. 2012 22:25

Re: Limita

#13 25. 10. 2012 22:25 — Editoval Andrejka3 (25. 10. 2012 22:29)

Re: Limita

#14 25. 10. 2012 22:29

Re: Limita

Zápatí