Matematické Fórum

Sulfan · 27. 10. 2012 22:36

Dobrý den,
trápím se se součtem této mocninné řady:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot n}{2^{n}\cdot (4n)!!}\cdot x^{2n}$

kde !! je funkce dvojného faktoriálu (násobí se ob dva).

Určil jsem obor konvergence jako množinu všech reálných čísel a zkoušel jsem řadu nějakým způsobem sečíst, avšak bezúspěšně. Přepsal jsem si $2^{n}=\frac{(2n)!!}{n!}$ , ale to nepomohlo. Dále jsem zkoušel hledat nějaký rozvoj funkce, který by se této řadě podobal, ale žádný jsem nenašel.

Můžete mi poradit nějaký trik, jak řadu spočíst? Děkuji.

skoroakvarista · 28. 10. 2012 01:37

↑ Sulfan:
Zdravím, spíš než $2^n$ uprav $(4n)!!$ . Pomocí lehké substituce dostaneš to samé, co používáš při úpravě $2^n$ . Tak jsem dostal řadu do tvaru $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cdot n}{(2n)!\cdot 2^{3n}}x^{2n}$ . To na první pohled nevypadá o moc lépe, ale pokud tuhle řadu zintegruješ, tak začne připomínat rozvoj sinu. Jen je potřeba se vhodnými úpravami zbavit $\frac{n}{2^{3n}}$ . Zkus si to sám, ale pro kontrolu dám i rozkouskovaný postup.

Použité úpravy, slovně:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Postup jedním směrem:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Druhý směr doplním ráno, pokud bude potřeba, teď už tu spím.

Sulfan · 28. 10. 2012 09:20

Hej tak ty seš dobrej borec, tyhle úpravy by mě asi nenapadly - udílím palec nahoru (reputaci), chytrý kolego jaderňáku :)

skoroakvarista · 28. 10. 2012 11:11

↑ Sulfan:
Ještě doplním, že pro korektnost by se mělo ověřovat, jestli vůbec můžeme zaměnit pořadí sumy a integrálu. Ale pokud vím, tak je tenhle typ příkladů zadáván tak, aby ty záměny šly provést a ověření předpokladů není vyžadováno. Na to bývají vypečenější příklady...

Sulfan · 28. 10. 2012 11:30

Tady si myslím, že je to zrovna jednoduché - to jsem ověřil na začátku, že jsem zjistil obor konvergnce, a jelikož je to mocninná řada, tak lze integrovat/derivovat člen po člen na svém oboru konvergence.

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2012 22:36

Součet mocninné řady

#2 28. 10. 2012 01:37

Re: Součet mocninné řady

#3 28. 10. 2012 09:20

Re: Součet mocninné řady

#4 28. 10. 2012 11:11

Re: Součet mocninné řady

#5 28. 10. 2012 11:30

Re: Součet mocninné řady

Zápatí