Matematické Fórum

check_drummer · 28. 10. 2012 15:19

Ahoj,
najděte algebraicky uzavřená tělesa (izomorfní považujte za totožná), která obsahují Q (racionální čísla).

Je zřejmé, že takovým tělesem je C (komplexní čísla) a také T:=Q(A), kde A jsou všechna algebraická čísla, tj. A jsou kořeny všech polynomů s racionálními koeficienty. Tedy Q(A) je těleso generované Q a A. Je také zřejmé, že "mezi" Q a T již žádné takové těleso neexistuje. Tedy otázka je, zda existují algebraicky uzavřená tělesa mezi T a C a nebo algebraicky uzavřené těleso obsahující C.

check_drummer · 30. 10. 2012 19:14

↑ check_drummer:
Napadlo mě, že bychom mohli uvažovat libovolný transcendentní prvek nad Q, např. e a uvažovat T1 algebraický uzávěr tělesa T(e). Pokud není T(e)=C, pak bychom mohli opět uvažovat nějaký transcendentní prvek f nad T1 a uvažovat T2 algebraický uzávěr tělesa T1(e). Otázka pak je, zda bude tato posloupnost těles Ti (alg. uzávěrů) konečná nebo nekonečná. Řekl bych, že konečná nespočetná.

OiBobik

↑ check_drummer:

Ahoj,

v dlouhé chvíli jsem tu šmejdil po fóru a narazil na toto téma.

Pokud si to pamatuju správně, tak pro $K$ nekonečné těleso a $\overline{K}$ jeho algebraický uzávěr platí, že $|\overline{K}|=|K|$ .
Takže konstrukce tak, jak ji navrhuješ (povedeš-li ji transfinitní indukcí, tj budeš číslovat ordinály; "limitní" těleso by asi mohl být alg. uzávěr sjednocení všech předchozích těles, což by mělo být těleso), by měla skutečně vyprodukovat nespočetný řetězec alg. uzavřených těles mezi $T$ a $\mathbb{C}$ .

Co se týče té druhé části: Tam by to mělo jít také hladce, stačí jako transcendentní prvek přidávat vždy novou neurčitou (takže ta posloupnost by vypadala: $\mathbb{C},\overline{\mathbb{C}(x)},\overline{\overline{\mathbb{C}(x)}(y)} \dots$ ).

Jo a ještě poznámka (k názvu): Kdykoli má člověk těleso charakteristiky 0, pak to těleso obsahuje jako prvotěleso Q (nebo isomorfní těleso). Takže "Algebraicky uzavřená těleso obsahující Q" je, technicky vzato, libovolné alg. uz. těleso charakteristiky 0.

Jo a ještě jedna poznámka: Aby ty argumenty výše fungovaly, je ještě potřeba nahlédnout, že $|K(e)|=|K|$ pro každé nekonečné těleso $K$ a každý prvek $e$ z nějakého rozšíření (tj. i když je $e$ nad $K$ transcendentní).

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2012 15:19

Algebraicky uzavřená tělesa obsahující Q

#2 30. 10. 2012 19:14

Re: Algebraicky uzavřená tělesa obsahující Q

#3 01. 05. 2013 20:59 — Editoval OiBobik (01. 05. 2013 23:18)

Re: Algebraicky uzavřená tělesa obsahující Q

Zápatí