Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
najděte algebraicky uzavřená tělesa (izomorfní považujte za totožná), která obsahují Q (racionální čísla).
Je zřejmé, že takovým tělesem je C (komplexní čísla) a také T:=Q(A), kde A jsou všechna algebraická čísla, tj. A jsou kořeny všech polynomů s racionálními koeficienty. Tedy Q(A) je těleso generované Q a A. Je také zřejmé, že "mezi" Q a T již žádné takové těleso neexistuje. Tedy otázka je, zda existují algebraicky uzavřená tělesa mezi T a C a nebo algebraicky uzavřené těleso obsahující C.
Offline
↑ check_drummer:
Napadlo mě, že bychom mohli uvažovat libovolný transcendentní prvek nad Q, např. e a uvažovat T1 algebraický uzávěr tělesa T(e). Pokud není T(e)=C, pak bychom mohli opět uvažovat nějaký transcendentní prvek f nad T1 a uvažovat T2 algebraický uzávěr tělesa T1(e). Otázka pak je, zda bude tato posloupnost těles Ti (alg. uzávěrů) konečná nebo nekonečná. Řekl bych, že konečná nespočetná.
Offline
↑ check_drummer:
Ahoj,
v dlouhé chvíli jsem tu šmejdil po fóru a narazil na toto téma.
Pokud si to pamatuju správně, tak pro nekonečné těleso a jeho algebraický uzávěr platí, že .
Takže konstrukce tak, jak ji navrhuješ (povedeš-li ji transfinitní indukcí, tj budeš číslovat ordinály; "limitní" těleso by asi mohl být alg. uzávěr sjednocení všech předchozích těles, což by mělo být těleso), by měla skutečně vyprodukovat nespočetný řetězec alg. uzavřených těles mezi a .
Co se týče té druhé části: Tam by to mělo jít také hladce, stačí jako transcendentní prvek přidávat vždy novou neurčitou (takže ta posloupnost by vypadala: ).
Jo a ještě poznámka (k názvu): Kdykoli má člověk těleso charakteristiky 0, pak to těleso obsahuje jako prvotěleso Q (nebo isomorfní těleso). Takže "Algebraicky uzavřená těleso obsahující Q" je, technicky vzato, libovolné alg. uz. těleso charakteristiky 0.
Jo a ještě jedna poznámka: Aby ty argumenty výše fungovaly, je ještě potřeba nahlédnout, že pro každé nekonečné těleso a každý prvek z nějakého rozšíření (tj. i když je nad transcendentní).
Offline