Matematické Fórum

Katerina6 · 28. 10. 2012 17:15

2)Kouli je opsán rotační kužel, jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule r. V jakém poměru jsou povrchy obou těles?

1) Do rotačního kužele je vepsána koule, jejíž povrch se má k obsahu podstavy kužele jako 4:3. Vypočti
velikosti úhlů osového řezu rotačního kužele.

Prosím o výpočet

marnes · 29. 10. 2012 09:56

↑ Katerina6:

2)Kouli je opsán rotační kužel, jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule r. V jakém poměru jsou povrchy obou těles?

1) načrtni si osový řez dané situace, tj rovnoramenný trojúhelník ABC - AB základna - a do něj kružnici. Tato kružnice se dotýká základny v bodě K a ramene v bodě L a má střed S.

2) Trojúhelníky SLC a KBC jsou podobné
SC = 5r
SL = r
CK = 6r

a potřebujeme KB

z podobnosti plyne $\frac{KB}{SL}=\frac{CK}{CL}$ kde CL vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku CSL.

Zbytek už snad zvládneš

marnes · 29. 10. 2012 10:29

↑ Katerina6:

1) Do rotačního kužele je vepsána koule, jejíž povrch se má k obsahu podstavy kužele jako 4:3. Vypočti velikosti úhlů osového řezu rotačního kužele.

Opět náčrtek jako ve příkladě předešlém
Ze zadání plyne $\frac{4\pi r^{2}}{\pi R^{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow R=r\sqrt{3}$

kde r je poloměr koule a R je poloměr podstavy

Dál si volím $r=10$ , pak $R=10\sqrt{3}$

Počítám úhel u vrcholu C v trojúhelníku SCL $tg\alpha =\frac{SL}{CL}$

SL=r=10

$CL=\sqrt{SC^{2}-r^{2}}$

SC=v-10

dále platí $\frac{v}{CL}=\frac{R}{r}$ - vyjádříš v, zjistíš SC, zjistíš CL, vypočítáš alfa a pak už je to snadné

Třeba navrhne někdo něco jednoduššího

jelena · 29. 10. 2012 11:34

↑ marnes:

Zdravím,

2)Kouli je opsán rotační kužel, jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule r. V jakém poměru jsou povrchy obou těles?

zdá se, že mám o něco jednodušší postup pro (2), jelikož využívám jen podobnosti.

Už mne včera nebavilo opakovat pravidla a vyzývat k samostatnosti + použití tlačítka Hledat, tak to učiním dnes: ↑ Katerina6: (ne, že by to začalo bavit :-)

Cheop · 30. 10. 2012 08:59 — Editoval Cheop (30. 10. 2012 10:43)

↑ Katerina6:
Oba příklady jdou řešit pomocí analytické geometrie
Ukázka řešení př. 1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 30. 10. 2012 09:42

Zdravím v tématu,

sleduji, že jsem přehodila číslování úloh a můj odkaz je pro úlohu (2). Opravila jsem ↑ v příspěvku 5: a přidala text úlohy.

Ještě přidám k (1)

1) Do rotačního kužele je vepsána koule, jejíž povrch se má k obsahu podstavy kužele jako 4:3. Vypočti
velikosti úhlů osového řezu rotačního kužele.

Zde je vhodné uvažovat, že střed kružnice vepsané leží na ose úhlu. Tedy pokud spojím bod v základně A se středem S, mám trojúhelník AOS (ve značení kolegy ↑ Cheop:), ve kterém je tangens polovičního úhlu při základně $\mathrm{tg}(\angle SAO)=r/R$ .

↑ Cheop: můj obdiv :-)

Kateřině to je ovšem srdečně jedno :-) pokud by se objevila, tak ať dá do pořádku témata, co založila.

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2012 17:15

vepsané a opsané útvary

#2 29. 10. 2012 09:56

Re: vepsané a opsané útvary

#3 29. 10. 2012 10:29

Re: vepsané a opsané útvary

#4 29. 10. 2012 11:34

Re: vepsané a opsané útvary

#5 30. 10. 2012 08:59 — Editoval Cheop (30. 10. 2012 10:43)

Re: vepsané a opsané útvary

#6 30. 10. 2012 09:42

Re: vepsané a opsané útvary

Zápatí