Matematické Fórum

nanny1 · 28. 10. 2012 11:16

Dobrý den,
snad už se na to někdo neptal přede mnou, hledala jsem a nenašla. Mám zjistit, jestli řada n!/(n^n), n --> oo, konverguje nebo diverguje. Tuším, že bude konvergovat, mohl byste mi prosím někdo poradit kritérium, kterým se to dá zjistit, ne samotné řešení? Nějak jsem se do toho zamotala... Už jsem zkoumala řadu n!/(5^n) pomocí podílového kritéria a ta diverguje. Bohužel se mi to tentokrát podílovým kritériem nějak nedaří.. Prosím o radu. Máme to sice jako nadstandardní úkol, ale chtěla bych to umět vyřešit.

Aquabellla · 28. 10. 2012 11:28

↑ nanny1:

Použij limitní podílové kritérium, ať se zbavíš faktoriálu. Jinak ano, tato řada konverguje.

nanny1 · 28. 10. 2012 11:32

↑ Aquabellla: Díky, jdu na to. :)

nanny1 · 28. 10. 2012 11:43 — Editoval nanny1 (28. 10. 2012 11:47)

↑ Aquabellla: Hm hm, zbavila jsem se faktoriálu, zbylo mi (n^n)/((n+1)^n). Mám teda napsat jmenovatel jako sumu - binomickou větu, pak můžu vytknout n^n, v čitateli mi zbyde 1 a jmenovatel jde k nekonečnu, limita je teda 0 a tudíž řada konverguje..? Nebo jsem vedle?
Edit: Teď na to koukám, to asi nepůjde, když jsem si to rozepsala, pokud vytknu n^n, zbyde mi v limitě 1 + samé nuly (jestli to vidím dobře..), takže 1/1 a to je asi špatně, když to konverguje. :(

Aquabellla · 28. 10. 2012 12:08

↑ nanny1:

Dobrala jsi se ke správnému tvaru: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^n$
Exponent se nám nehodí, přepíšeme si tvar na $e^{\ln}$
$e^{\lim_{n \to \infty} n \cdot \ln \left(\frac{n}{n + 1}\right)}$
Dáme si substituci: $t = \frac{1}{n}$ , takže se nám limita změní takto: $e^{\lim_{t \to 0} \frac{\ln \frac{1}{((\frac{1}{t} + 1)t)}}{t}}$
Použijeme L'Hospitala:
$e^{\lim_{t \to 0} -\frac{1}{t + 1}}$
Teď už stačí dosadit a vyjde konkrétní číslo menší jak jedna, takže původní suma konverguje.

nanny1 · 28. 10. 2012 12:30 — Editoval nanny1 (28. 10. 2012 12:30)

Aha, jasně, takhle by to šlo, ale l´Hospitala jakoby ještě nemám znát.. Ale každopádně díky za radu. :)

Brano · 28. 10. 2012 14:55

Mozes pouzit aj porovnavacie kriterium.
Plati $(n-1)!\le (n/2)^{n-1}$ (zvladnes to dokazat z AG nerovnosti?)
potom $\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{2^{n-1}}$ a hotovo.

Mr.Pinker

jde to udělat i jinak .....

$\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}< 1$
což po uprávě dává
$\sqrt[n]{n!}< n$
což evidetně platí jelikož máš vztah ,že geometrický průměr je vždy menší roven průměru aritmetickému
což zní
$\sqrt[n]{n!}\le \frac{n+1}{2}$
a jelikož pro n >1 platí
$\frac{n+1}{2}<n$
tak tvoje limita konverguje

vidím že než jsem se popral se sepsáním řešení je tu už další nu což snad ti pomůže i toto

nanny1 · 28. 10. 2012 17:13

↑ Mr.Pinker: Super, děkuju moc, pojem geometrický průměr jsem neznala, to je fakt užitečná věc. Jinak jestli se ještě můžu hloupě zeptat - v tom aritmetickém průměru je (n + 1)/2. Zrovna ta jednička je tam proč? Protože je to nejmenší možné n? Takhle se to dělá standardně? Omlouvám se, ještě jsem se s tím nesetkala a na Wiki to není.

nanny1 · 28. 10. 2012 17:29 — Editoval nanny1 (28. 10. 2012 17:49)

↑ Brano: Hmm.. Tak v tomhle se vůbec nechytám. Kde se vzalo (n - 1)! ještě tuším, ale jak jsi přišel na (n/2)^(n-1), to fakt nevidím. :( Zkoušela jsem limitní srovnávací kritérium a nikam jsem se nedostala, protože jsem tu limitu nedokázala nijak kloudně rozložit.

Upravila jsem výraz vytknutím n na (n-1)!/n^(n-1) a tu dvojku tam nějak nemůžu dostat. :(

Mr.Pinker

↑ nanny1:
aritmetický průměr máš definován jakou součet prvků lomeno jeho počtem což znamená toto
oznamčme artimetocký průměr jako $p_a$ ted $p_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}i}{n}$
$\sum_{i=1}^{n}i$ značí součet aritmetické řady takže dál je všechno jasné ne ?

nanny1 · 29. 10. 2012 09:27

↑ Mr.Pinker: Už je mi to jasný. :) Děkuju.

nanny1 · 29. 10. 2012 09:51 — Editoval nanny1 (29. 10. 2012 10:15)

Ještě mě napadla jedna věc: U toho podílového limitního kritéria se výraz dal upravit na (n^n)/((n+1)^n), což se dá zapsat jako ((1/(1+(1/n)))^n, což je e^(-1) a to je taky menší než jedna. Jde to takhle taky udělat? :)

Brano · 29. 10. 2012 12:02 — Editoval Brano (29. 10. 2012 18:54)

↑ nanny1:
ano
↑ nanny1:
$(n-1)!$ som tam dal, lebo sa mi to tak hodilo; potom
$\frac{n!}{n^n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}\le\frac{(n/2)^{n-1}}{n^{n-1}}\le\left(\frac{n/2}{n}\right)^{n-1}=\frac{1}{2^{n-1}}$ .
no a ta AG nerovnost v tomto pripade hovori:
$\sqrt[n-1]{(n-1)!}=\sqrt[n-1]{1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)}\le\frac{1+2+...+(n-1)}{n-1}=\frac{n}{2}$

len taka poznamka, ze preco sa geometricky priemer vola geometricky:
poznas Euklidove vety? http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidova_v%C4%9Bta

Zoberies si usecku $AC$ a na nej bod $B$ , tak ze $|AB|=a$ a $|BC|=b$ , urobis Talesovu kruznicu $k$ nad $AC$ a kolmicu $p$ na $AC$ prechadzajucu bodom $B$ a oznacis bod $D\in p\cap k$ (tam su dva body, tak vyber jeden). Usecka $BD$ ktora ma z Euklidovej vety dlzku $\sqrt{ab}$ je isty sposob robenia priemeru $a,b$ . Ocividne je dlzka $BD$ mensia, alebo rovna ako polomer kruznice $k$ , cize $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$ , pricom sa da lahko vsimnut, ze rovnost nastava iba ak $a=b$ .

Tato nerovnost as potom da indukciou zovseobecnit na tento vztah: http://cs.wikipedia.org/wiki/Nerovnost_ … Fm%C4%9Bru
Pripadne si pozri anglicku verziu a najdes aj dokazy.