Matematické Fórum

Yepy · 31. 10. 2012 21:39

Zdravím, potřeboval bych pomoct s řešením těchto slovních úloh.

1) Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku, jehož delší odvěsna je o 3cm kratší než přepona a o 3cm delší než kratší odvěsna.

2) Rameno rovnoramenného trojúhelníku měří $\sqrt{52}cm$ , jeho základna je o 2cm delší než k ní příslušná výška. Vypočtěte obsah tohoto trojúhelníku.¨

Díky za pomoc.

TomF · 31. 10. 2012 22:12

Ahoj,
1) to závisí na volbě přepony, tak můžeš řešit jen obecně: vyjádříš přeponu jako neznámou a odvěsny jako přepona-...
2)nejprve je třeba spočítat výšku: pomoví pythagorovy věty sestavíš kvadratickou rovnici s výškou jako neznámou +(a tady po vyřešení vyjde jeden kořen záporný, ten nechceme).

Honzc · 01. 11. 2012 05:49

↑ TomF:
K př.1. To co píšeš není přeci pravda.
Máš trojúhelník, o kterém znáš 3 na sobě nezávislé údaje. (pravoúhlý, a dvě strany podmíněné stranou třetí)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Yepy · 01. 11. 2012 18:26 — Editoval Yepy (01. 11. 2012 18:27)

Jsem úplně dutej..

Vzoreček obsahu u trojúhelníka je $S=\frac{a*b}{2}$
Áčko jsem si vyjádřil jako $x$ a béčko jako $x-3$
Když to dosadim do rovnice $S=\frac{x(x-3)}{2}$
To mi vyjde jako $S=\frac{x^{2}-3x}{2}$

A to je asi špatně :D

Vladislav97

↑ Yepy: Ahoj, vzorec pro obsah trojúhelníka spočítáš tak, že vynásobíš délku základny s výškou a tento celý údaj vydělíš dvěma. Tady přikládám můj schématický obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Teď si tkus podle Pythagorovy věty dopočítat $x$ . Rozepíšu začátek: $x^{2}=(x-3-3)^{2}+(x-3)^{2}$

Vladislav97 · 01. 11. 2012 19:41

↑ Yepy: U dvojky se pokus narýsovat trojúhelník a vyznačit si co znáš. Opět prozradim, že tam využiješ Pythagorovy věty (ale ne pro celý trojúhelník, jenom pro nějakou část).

Yepy · 01. 11. 2012 19:41 — Editoval jelena (01. 11. 2012 20:59)

Takže
$S=\frac{(x-3)*[(x-3)-3]}{2}$
$S=\frac{(x-3)*(x-6)}{2}$
$S=\frac{x^{2}-9x+18}{2}$

A teď jak dál ?

Jeleno: obnoveno.

Vladislav97

Jak si z $x^{2}=(x-3-3)^{2}+(x-3)^{2}$ přišel na:

$x^{2}&=(x-6)*(x-3)$

? kam ti zmizely mocniny? A $+$ ti nějak zmizel...

$x^{2}=(x-6)^{2}+(x-3)^{2}$ Zde by se ti hodilo použít vzorec: $A^{2}-2AB+B^{2}$ tedy:
$x^{2}=(x^{2}-12x+36)+(x^{2}-6x+9)$
$x^{2}=x^{2}-12x+36+x^{2}-6x+9$ (A upravuj)

Jasné?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Za pár minutek tu už nebudu, tak pokud budeš potřebovat něco vědět, tak ti pomůžou ostatní, kteří budou moci. Popřípadně se tu objevim ještě. Zdar a hodně úspěchu v tématu.

Honzc · 02. 11. 2012 06:03 — Editoval Honzc (02. 11. 2012 06:07)

↑ Yepy:
K příkladu 1.
Pokud jste ještě nebrali kvadratickou rovnici, ale brali jste úpravu výrazů, pak se dá úloha spočítat takto:
Označíme prostřední délku strany (jedné odvěsny) $x$
Další dvě strany tj. druhá odvěsna bude mít délku $x-3$ a přepona délku $x+3$
Pak podle Pythagorovy věty bude platit:
$x^{2}+(x-3)^{2}=(x+3)^{2}$
Upravíme (umocníme dvojčleny)
$x^{2}+x^{2}-6x+9=x^{2}+6x+9$
Odečteme sečteme a máme:
$x^{2}-12x=0$
Vytkneme:
$x(x-12)=0$
A teď už pouze zapřemýšlíme. Kdy je součin dvou čísel roven nule?
Odpověď: když alespoň jedno z nich je rovno nule.
Tak tedy 1. $x=0$ - to ovšem nevyhovuje, protože se jedná o délku úsečky a ta nulová být nemůže
2. $x-12=0\Rightarrow x=12$ , a to je řešení (je to ta delší z odvěsen)
Druhou odvěsnu spočítáme jako $x-3=12-3=9$
Máš tedy vypočítané délky obou odvěsen a teď už jenom dosadíš do vzorečku $S=\frac{a*b}{2}$

Jenom taková poznámka:
Pravoúhlemu trojúhelníku, který má všechny délky stran tvořeny přirozenými čísly (u nás 9,12,15) se říká pythagorejský trojúhelník.