Matematické Fórum

vanok · 31. 10. 2012 17:25 — Editoval vanok (31. 10. 2012 17:26)

Dokazte tento vysledok

Nech $(u_n)$ je divergentna rada zo striktne kladnymy clenmy.
Oznacme $(S_n)$ jej sumu radu $n$ , potom rada
$$ \frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}}$$ je
konvergentna ak $\alpha >1$ ,
divergentna ak $\alpha <1$ .

A potom skuste ho aplikovat na dokaz nejakych klasickych viet,

o ktorych napisem tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=312503#p312503
v prispevku #132

Brano · 01. 11. 2012 17:07

Pekna uloha. Najprv ako by to vyzralo v spojitom pripade.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Mozno, ze integralne kriterium poskytne ako dosledok vetu o radoch, len mne sa nepodarilo doladit detaily. Ale mozeme sa inspirovat tymto postupom a dokazat vysledok pre rady osobitne.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 01. 11. 2012 18:34 — Editoval vanok (02. 11. 2012 11:17)

Ahoj ↑ Brano:,
Dakujem, ze ta tento problem zaujal.

Dam este jeden dokaz, mozes to porovnat z tvojim.
Ak $\alpha >1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ak $\alpha =1$ , pouzijem Cauchy-ho kriterium a ukazem, ze $\frac {u_n}{S_n}$ ho nesplnuje.
Co znamena, ze
$\exists \varepsilon \forall N \exists p,q ; p>q>N, \frac {u_p}{(S_p)}+\ldots +\frac {u_q}{S_q}>\varepsilon$ .
Skutocne, mame
$\frac {u_p}{S_p}+\ldots +\frac {u_q}{S_q}\geq \frac {u_p+\ldot +u_q}{S_q}=\frac {S_q-S_{p-1}}{S_q}=1-\frac {S_{p-1}}{S_q}$
Pre dane $\varepsilon =\frac 1 2$ a pre $N$ nech $p=N+1$ a $q$ take ze $\frac {S_N}{S_q}<1$

Odtial, pre $\varepsilon =\frac 1 2$ a p, q takto urcene
$\frac {u_p}{S_p}+\ldots +\frac {u_q}{S_q} \leq \frac 1 2$ .
A preto rada $$ \frac {u_n}{S_n} $$ diverguje.

Ak $\alpha < 1$
vieme, ze rada
$\frac {u_n}{S_n}< \frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}}$ , ca da ze
$$ \frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}} $$ diverguje.

KONIEC

check_drummer · 01. 11. 2012 21:30

↑ vanok:
Ahoj, můžeš prosím více odůvodnit platnost nerovnosti
$\frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}} \leq \int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac {dx}{x^{\alpha}}$
?
Děkuji

Brano · 01. 11. 2012 23:15 — Editoval Brano (01. 11. 2012 23:16)

↑ vanok:
Cize hovoris, ze aj pre $\alpha=1$ to diverguje? Skusal som to dokazat, len sa mi to nepodarilo.

Este sa mi ten tvoj postup nejak nezda. Pre $\alpha>1$ , plati $\int_{S_0}^{+\infty}\frac {dx}{x^{\alpha}}=\frac{1}{\alpha-1}S_0^{1-\alpha}$ , co je pre $\alpha>2$ mensie ako prvy clen v tom rade .. $u_0^{1-\alpha}$ .

PS: Mne sa zda, ze plati plati opacna nerovnost a da sa pouzit na divergenciu toho radu.

vanok · 02. 11. 2012 00:20 — Editoval vanok (02. 11. 2012 01:10)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Uvedom si ze
$u_n=S_n-S_{n-1}$ .
Z toho mas okamzite nerovnost co som napisal, vdaka teoreme strednej hodnoty integralu.

Ahoj Brano, zatial som dokazal vysledok pre $\alpha >1$
Co sa tyka tvojej poznamky, porozmyslam o tom.
Pripad $\alpha = 1$ je zatial predcastne komentovat ... vsak zatial som tu nenapisal ziadny dokaz. ( A v dokaze skutocne uvidis ze v tom pripade rada diverguje.) Ked dokoncim co mam na praci napisem ten dokaz co som slubil... este troska trpezlivosti.

Zatial mozte mi napisat, ci je vam cast co som napisal jasna, alebo ukazat ci tam je nejaka chyba..

Brano · 02. 11. 2012 01:36

↑ vanok:
Uz som si overil, ze to plati tak ako si napisal a uz vidim aj kde bol problem v mojej uvahe. Totizto $\int_{S_0}^{+\infty}\frac {dx}{x^{\alpha}}$ je sucet radu bez prveho clena - t.j. toho s indexom $n=0$ . Ked sa pripocita aj ten, tak dostaneme presne ten isty horny odhad sumy co vysiel aj mne.

vanok · 02. 11. 2012 11:35 — Editoval vanok (03. 11. 2012 14:32)

Doplnil som moj dokaz, tak napiste ak mate otazky alebo poznamky ( chyba nie je vylucena, ale dufam ze su tam len preklepy a nic ine)

Tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=312503#p312503 v prispevku #132 som dal este jednu malu poznamku na jednoducje pouzitie tohto vysledku.

Marian · 05. 11. 2012 16:07

Pokud v původním příspěvku značí výraz bez diakritiky

%--------
jej sumu radu $n$
%--------

$n$ -tý parciální součet, potom se mi vybavují tři jména, konkrétně Abel, Dini a Pringsheim s jejich větami o nekonečných řadách. Důkaz tvrzení výše (domnívám se elementárnější, než zde předvedené, ale detaily jsem nestudoval) je možno nalézt v Knoppově knize zde. Zajímavá je pak také věta Theorem 3 na straně 126 od E. Cesàra, jež je v úzké souvislosti s těmito výsledky. Ve slovenštině je možno tyto výsledky v ucelené a zajímavé podobě nalézt v knize Tibora Šaláta Nekonečné rady. V češtině máme, bohužel, málo takové literatury (snad Holendovy Řady).

vanok · 05. 11. 2012 17:30 — Editoval vanok (05. 11. 2012 17:59)

Pozdravujem ↑ Marian:,
Zial diakritiku na Cz a Sk nemam.
2 knihy o radoch od Knopp som konzultoval. Dokaz v nich je inac urobeny.
K Sk kniham je mi tiez prakticky nemozne sa dostat, ak su in line, tak sa rad poucim.

Zda sa mi, ze dokaz co som tu dal je dost elemetarny

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a co sa mi paci, ze mozeme takto dokazat vetu o Riemanninn-ovych a Beltrand-ovych radoch uplne bez namahy.
Cesaro-va veta, je iste zaujimava, ale o suvise z danym problemom som zatial nerozmyslal.
Mozno tu napisem, o elementarnych vlasnostiach Cesaro- konvegencii radu k, inspirovanu z knihy od Hardy (divergent series)... No ale to je len projekt.
Mala poznamka: V mojej edicii thm od Cesaro je na str 129.

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2012 17:25 — Editoval vanok (31. 10. 2012 17:26)

pekna teorema o radoch

#2 01. 11. 2012 17:07

Re: pekna teorema o radoch

#3 01. 11. 2012 18:34 — Editoval vanok (02. 11. 2012 11:17)

Re: pekna teorema o radoch

#4 01. 11. 2012 21:30

Re: pekna teorema o radoch

#5 01. 11. 2012 23:15 — Editoval Brano (01. 11. 2012 23:16)

Re: pekna teorema o radoch

#6 02. 11. 2012 00:20 — Editoval vanok (02. 11. 2012 01:10)

Re: pekna teorema o radoch

#7 02. 11. 2012 01:36

Re: pekna teorema o radoch

#8 02. 11. 2012 11:35 — Editoval vanok (03. 11. 2012 14:32)

Re: pekna teorema o radoch

#9 05. 11. 2012 16:07

Re: pekna teorema o radoch

#10 05. 11. 2012 17:30 — Editoval vanok (05. 11. 2012 17:59)

Re: pekna teorema o radoch

Zápatí