Matematické Fórum

Zuzanka46 · 03. 11. 2012 14:34

Mohl by mi prosím někdo pomoci nějak elegantně vyřešit tento integrál? Nevím si s ním vubec rady.... Děkuju moc :-)

$\int_{0}^{2\pi} cos ^4(t)* sin^2(t)dt$

vanok · 03. 11. 2012 14:51 — Editoval vanok (03. 11. 2012 14:55)

Ahoj ( to je minimalna slusnost),
Tu som pisal o jednej metode riesenia
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=34922&p=3 , #59.
Pochopitelne, su aj ine metody: napriklad premenit vdaka stredoskolskym vzorcom vyrazna integrovanie na sucet clenov typu $\sin (k t)$ ; $\cos (kt linearizacia).

Aj toto je zaujilave citanie
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=39138

kompik · 03. 11. 2012 15:01

Ked uz teda davame linky s navodmi, pridam toto: http://math.stackexchange.com/questions … s-x-textdx

Zuzanka46 · 03. 11. 2012 15:36

↑ vanok:

"EDIT RIESENIE TOHTO PRIKLADU VYMAZANE ABY NEBOL ZNEUZITY NA BONUSOV PRIKLAD JEDNEJ VYSOKEJ SKOLY"..... takže řešení bohužel není k dispozici :/ Nemohl bys prosím, alespoň částečně, naznačit, jakým způsobem příklad řešit?
Z přiložených odkazů nejsem moc moudrá... Děkuji moc :)

kompik · 03. 11. 2012 16:22 — Editoval kompik (03. 11. 2012 17:17)

↑ Zuzanka46:
Asi by malo byt jasne, ze ti staci zratat $\int \cos^6 x\, dx$ a $\int \cos^4 x\,dx$ .

Ak si oznacim $I_n=\int_0^{2\pi} \cos^n x\,dx$ a skusim si to rozdelit ako $\cos^n x=\cos^{n-1} x \cos x$ a urobit per partes, mal by som z toho dostat nejaky vztah medzi $I_n$ a $I_{n-2}$ .

Ked si to vyskusas, mozes skontrolovat, ci ti vyslo to iste, ako pisu na Wikipedii. (V tvojom pripade to bude o cosi jednoduchsie, lebo tam nieco vypadne vdaka hraniciam 0 a $2\pi$ .)

vanok · 03. 11. 2012 21:33

↑ Zuzanka46:

Priklad vypoctu som musel vymazat, lebo by to malo vplyv na vysledky niektorych kolegov.
Ale metoda je tam uplne popisana
Poznamka o metode linearizacie trigonometrickych vyrazov cize odstranenie mocnyn v danom vyraze..
( Normalne sa pouziva, ked nic ine jednoduche, umozni riesenie, nevidime v problemoch integracie trigonometrickych vyrazov typu $\int \sin^n(x)cos^m(x) dx$ ...ako je to v pripadoch ked sa nedaju pouzit Bioche-ove pravidla)

Metoda je jednoducha aplicacia tychto znamych vzorcov:

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$
$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$ ( Euler)
Ako aj (de Moivre) :
$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \,$
a pochopitelne binomickej vety.

V tvojom priklade, mozes zacat z $\cos^{4} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{4}$
a potom
$\sin^{2} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}$
( rozvinutej forme )
Potom vynasobis oba vysledky...a znovu pouzijes dva prve vzorce.
anakoniec vypocitas hladany integral.

Skus to urobit.... a napis to sem, potom ti to skontrolujem.