Matematické Fórum

xxxxx19

Ahoj, buď
$\int sin^{m}(x)cos^{n}(x)dx$

a pomocí vhodné perparterizace by se problém měl převést na řešení rovnicemi (soustavy rovnic?)
Nápověda indegrace/derivace zní:
$u'=(n+1)sin^{m}(x)cos(x)$
$v=cos^{n-1}(x)$

a posléze by se mělo využít:
$u'=(m+1)sin(x)cos^{n}(x)$
$v=sin^{m-1}(x)$

Když nad tim přemýšlím tak mě napadá pouze použití vhodných transformací pro kvadráty goniometrických funkcí a nebo zmíněné per partes ale to by bylo vždycky ad hock.

Zjistil jsem jak na případy:

odd power of sine or cosine - algortimus, hezký.
When both m and n are even - tohle už je podlě mě ad hock
a na youtube je ještě jeden
http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/I … _Integrals

Chtěl bych na to jít ale pomocí perpartes, za nápady díky.

Edit: u toho prvního hintu nechápu jak můžu mít u sinu mocninu m, která se nesníží

jelena · 03. 11. 2012 12:39

Zdravím,

podle mne návrh per partes máš dobře. Po 2 opakováních (myslím :-) se dostaneš do zdánlivě bludného kruhu (to je moment, kdy se použije "algebraická rovnice" - technika bude obdobně.

Edit: u toho prvního hintu nechápu jak můžu mít u sinu mocninu m, která se nesníží

přepsal jsi $\int \sin^{m}(x)\cos^{n}(x)\d x=\int \sin^{m}(x)\cos (x)\cos^{n-1}(x)\d x$

a začátek je použit $u'=(n+1)\sin^{m}(x)\cos(x)$ (akorát mám dojem, že místo n v závorce má být m (a přehodit i u druhého doporučení)

Tedy $u'=(m+1)\sin^{m}(x)\cos(x)$ (zkus z toho odvodit funkci $u$ - použitím substituce $t=\sin(x)$ )

Určitě se již odvozovalo.

xxxxx19

Hm, tak zatim jsem si procvičil perparterizaci, jinak bych potřeboval aby se to tam vysktlo v opačném znaménku a já moh mít
$\int neco=cosi-\int neco + c$
a pak
$\int neco=\frac{cosi}2{} +c$

Edit: Vim, že někdy to proběhne tak, že tam jsou ty znamánka šikovně ale tohle v tomhle případě alespoň tak jak to teď dělám nenastává.

jelena · 03. 11. 2012 16:49

ono se vyskytne v opačném znaménku - v 3. řádku od vrchu máš "minus" nad = Potom jsi ho nepoužil - tak?

xxxxx19 · 03. 11. 2012 16:53

Domnívám se, že je využito jako -- = + před integrálem je normalne pri perpartes -

jelena · 03. 11. 2012 17:30

↑ xxxxx19:

ano, vidím. Pokud ještě bude aktuální, tak se podívám hodně později.

xxxxx19 · 03. 11. 2012 18:22

deadline je neděle večer.

ale když si to zkusis pro treba M=N=6 tak uvidíš, že to je hodně složitej výsledek a ta složitost roste se zvysujicim se M a N (opticky to hodnotim, kdyz se podivam do Mathematika), takze si myslim, že nějakej obecnej vzorec kde se vyskytuje M a N existovat nebude. Možná jedině rekurence ale to nevim jak, protože mám dva parametry. Nebo, že by se zjistilo, že tam je něco jako vektorový prostor goniometrických funkcí a řešilo by se to výpočtem jejich koeficientů? A nebo nějak to co sem se pokoušel udělat ale správně, tak aby to vyšlo.

Motivace příkladu je taková, že to je počítání integrace Jakobiánu zobecněných polárních souřadnic a toto se musí vyřešit pro M=N=6 pokud počítám obsah vymezený implicitní křivkou $x^{\frac{2}{7}}+y^{\frac{2}{7}}=a^{\frac{2}{7}}$

stačí mi ale spočítat $\int_{0}^{ \frac{\pi }{2}} ...$ tohodle. To by se dalo třeba nějak využít?

jelena · 04. 11. 2012 00:29

↑ xxxxx19:

na odvození se ještě podívám (případně pohledám téma, kde se již odvozovalo).

že nějakej obecnej vzorec kde se vyskytuje M a N existovat nebude

určitě je v Rekrysovi a například zde.

a toto se musí vyřešit pro M=N=6

pokud jde o tento konkrétní případ, tak:
$\int \sin^{6}(x)\cos^{6}(x)\d x=\frac{1}{2^6}\int (2\sin(x)\cos(x))^6\d x=\frac{1}{2^6}\int (\sin(2x))^6\d x=\ldots$

atd. Toto není použitelné?

xxxxx19 · 04. 11. 2012 10:39

pro tento konkrétní případ to je vždy nějaký rozumný pohled na věc

to první je užitečný, podívám se na to, díky
ale stejně to nevede přímo, vede to ke snižování exponentu u jedné goniometrické funkce, takže to je koukám na dlouho to řešení, neboť tohle je tak nejvíc 1/2 toho problému, pak se ještě řeší ten zbytek.

jelena · 04. 11. 2012 10:55

↑ xxxxx19:

toto konkrétní: $\int \sin^{6}(x)\cos^{6}(x)\d x=\frac{1}{2^6}\int (2\sin(x)\cos(x))^6\d x=\frac{1}{2^6}\int (\sin(2x))^6\d x=\ldots$

není nadlouho. Pokud teď potřebuješ řešit něco konkrétního, tak všeobecnému odvozování můžeš věnovat třeba v srpnu. Zkus ještě projít toto téma a odkazy z něho.

xxxxx19

už to asi mám:
převede se to na problém bud jednoduche substituce nebo $\int_{}^{} sin^{m}dx$

Edit: sry za whitespace

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2012 09:14 — Editoval xxxxx19 (03. 11. 2012 09:15)

Algoritmus integrace

#2 03. 11. 2012 12:39

Re: Algoritmus integrace

#3 03. 11. 2012 16:44 — Editoval xxxxx19 (03. 11. 2012 16:48)

Re: Algoritmus integrace

#4 03. 11. 2012 16:49

Re: Algoritmus integrace

#5 03. 11. 2012 16:53

Re: Algoritmus integrace

#6 03. 11. 2012 17:30

Re: Algoritmus integrace

#7 03. 11. 2012 18:22

Re: Algoritmus integrace

#8 04. 11. 2012 00:29

Re: Algoritmus integrace

#9 04. 11. 2012 10:39

Re: Algoritmus integrace

#10 04. 11. 2012 10:55

Re: Algoritmus integrace

#11 04. 11. 2012 14:39 — Editoval xxxxx19 (04. 11. 2012 14:42)

Re: Algoritmus integrace

Zápatí