Matematické Fórum

Sulfan · 05. 11. 2012 20:52

Zdravím,

hledám obor konvergence následující mocninné řady:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{\lfloor \sqrt n \rfloor}}{n}x^n$

kde je -1 umocněná na dolní celou část přirozeného indexu n. Zde mi selhává "klasický" výpočet oboru konvergence za pomoci napříklady limity podílu dvou po sobě jdoucích členů. Uvážil jsem, že bych nějakým způsobem mohl odhadnout dolní celou část jako:

$\sqrt n \leq \lfloor \sqrt n \rfloor\leq \sqrt n+1$

ale to bohužel nevedlo k cíli, protože umocňuji mínus jedničku a mezi jejími mocninami by tento vztah už neplatil.

Máte nápad, jak vyšetřit obor konvergence této řady?

Děkuji za odpověď.

Pavel Brožek

↑ Sulfan:

Zkus si to rozdělit na tři případy $|x|<1$ , $|x|=1$ a $|x|>1$ . Zvládneš některý z nich?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Sulfan · 05. 11. 2012 21:22 — Editoval Sulfan (05. 11. 2012 21:24)

↑ Pavel Brožek:

Pro $|x|>1$ limita v plus nekonečnu neexistuje, tudíž množina $\left (-\infty,-1 \right )\cup \left ( 1, \infty \right )$ nebude v oboru konvergence.

Pro $|x|<1$ konverguje absolutně například dle limitního podílového kritéria, tudíž $(-1;1)$ je podmnožinou oboru konvergence.

Ale pro $|x|=1$ si stále nevím rady. Nevíš, jak bych mohl pokračovat? Díky. :)

Rumburak

↑ Sulfan:

Ahoj. Pro $|x|=1$ bude asi užitečné upravit si částečný součet řady do tvaru

(1) $s_N := \sum_{n=1}^N \frac{\left ( -1 \right )^{\lfloor\sqrt n \rfloor}}{n} = \sum_{k=1}^{m_N} \sum _{j=0}^{2k}\frac{\left ( -1 \right )^{\lfloor\sqrt {k^2 + j} \rfloor}}{k^2 + j} + \sum _{j=0}^{N - m_N^2}\frac{\left ( -1 \right )^{\lfloor\sqrt {m_N^2 + j} \rfloor}}{m_N^2 + j}$ ,

kde $m_N$ je největší přirozené číslo splňující nerovnost $m^2 \le N$ , tj. $m_N = \lfloor\sqrt {N} \rfloor$

Poznámka: $2k = (k+1)^2-k^2-1$ , pro $j = 0, ... , 2k$ je tedy $\lfloor\sqrt {k^2 + j} \rfloor = k$ ,
obdobně v druhé sumě napravo v (1) je $\lfloor\sqrt {m_N^2 + j} \rfloor = m_N$ .