Matematické Fórum

Kotletka · 10. 11. 2012 18:51

Zdravím Vás, chytří lidé tohoto světa,

nejprve jsem se rozhodla sdělit, že začínáte být mé oblíbené internetové fórum (což je dost smutné).

A dál bych ráda vznesla dotaz:

Mám nějakou obecnou matici a potřebuji nalézt všechny matice, které s ní komutují. Jak to obecně udělám? Samozřejmě jsem googlila - slečna tady http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=18140 se s tím nepáře a říká, že jsou to všechny matice:-D, ale to asi nebude ono.

Takže, umí někdo napsat polopatické řešení, či na něj odkázat?

Děkuji

Pavel Brožek

↑ Kotletka:

Ahoj,

pokud má matice různá vlastní čísla, pak to není příliš složité, jak jsem ukázal na odkazu, který uvádíš, konkrétně zde.

Pro obecný případ to bude asi těžké. Googlil jsem a našel článek. Nazývají to tam „Borůvka's Problém“. :-) Je na mě bohužel moc matematický, tak jsem se do jeho podrobnějšího čtení nepouštěl. Řešení tam myslím není, ale mohlo by to snad být přesto užitečné.

kompik · 10. 11. 2012 19:29 — Editoval kompik (10. 11. 2012 19:32)

↑ Kotletka:
Mame teda danu maticu A a chceme najst vsetky matice B take, ze AB=BA.

Naivne riesenie: Povazujme prvky matice B za nezname, dostaneme tak sustavu n^2 linearnych rovnic s n^2 neznamymi. Je to velmi pracne riesenie ale pre male matice asi schodne.

Ak je dana matica diagonalizovatelna, tak je nejaka vseobecna veta, ze ta druha matica bude v tej istej baze mat tiez diagonalny tvar.

Pridam nejake odkazy - a snad sem aj niekto iny napise nieco rozumne, s cim sa bude dat pohnut dalej.
http://math.stackexchange.com/questions … genvectors
http://math.stackexchange.com/questions … to-commute
http://math.stackexchange.com/questions … that-ab-ba

EDIT: Zjavne kym som pisal ten post, tak uz niekto nieco rozumne napisal. Aj tak tu bude mozno nieco uzitocne, tak je to tu snad rozumne nechat.

Kotletka · 10. 11. 2012 19:36

:-D:-D:-D

Teď nevím.. Vtip?

Ano, to vlákno jsem četla. Ano, četla jsem i Tvůj postup. Nejdřív Tě budu citovat:

"...je tedy vlastní vektor matice... . Protože dimenze podprostoru vlastního čísla... je jedna (každé vlastní číslo matice A je pouze jednonásobným kořenem charakteristického polynomu - v této úloze), je vektor... násobkem (označme konstantu úměrnosti ) vektoru... , tedy"

a nyní si položme otázku, jak moc polopatické to je, příp. otázky, co je to vlastní vektor matice, dimenze podprostoru, podprostor, vlastní číslo, charakteristický polynom, konstanta úměrnosti...

Za odkaz děkuji, bohužel příliš matematické články nezvládám ani v češtině, proto se ptám, jestli by to někdo neuměl polopaticky:-)

Kotletka · 10. 11. 2012 19:41

Ano! Naivní řešení je sexy řešení. Nemá nějaké jméno, abych si mohla najít jeho popis, jako pro hloupé nebo pro malé? Je hezké, že se mnou jednáte jako se sobě rovnou, ale já to od Vás nechápu;-)

Jinak děkuji oběma:-)

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 19:50

↑ Kotletka:

No neměl to být vtip, ale tak aspoň pobavilo :-D. Předpokládal jsem, že když se ptáš na takovou obecnou otázku, tak ten můj postup je vlastně polopatický. Řešení pomocí soustavy $n^2$ rovnic mi přišlo natolik evidentní a pro větší matice složité, že jsem ho úplně zapomněl zmínit, to ale asi bude řešení vhodné pro tebe.

Požaduješ, aby platilo $AB=BA$ , kde A znáš. Tak si napiš matici B obecně tak, že na prvním řádku bude $b_{1,1}$ , $b_{1,2}$ a tak dál a podobně na ostatních řádcích. Pak si roznásob levou stranu rovnosti $AB=BA$ , pak pravou a obě strany porovnej (matice se rovnají, pokud se rovnají jejich prvky na odpovídajících řádcích a sloupcích). Tím dostaneš tu velkou soustavu rovnic pro neznámé $b_{i,j}$ .

Je to dost polopatě? :-)

Kotletka

No, mohla jsem sem dát příklad a žádat o řešení, ale měla jsem takovou vizi, že poté, co byste mi poradili, bych mohla umět vyřešit i jiný než ten jediný příklad;-) Takže propříště konkrétněji a upozornit, že dle psaného projevu vypadám erudovanější, než ve skutečnosti jsem:-)

Je to natolik polopatické a evidentní, že jsem s tím začala ještě předtím, než jsem vznesla tento dotaz (to se chlubím, jak jsem chytrá, kdyby to nebylo zjevné). Bohužel mi zřejmě k dokončení výpočtu chybí nějaká znalost, kterou neumím pojmenovat (možná převádění matic na soustavy rovnic?). Došla jsem k tomuto:

$2x_{11}+x_{12}$ $3x_{11}-3x_{12}$

$2x_{21}+x_{22}$ $3x_{21}-x_{22}$

se rovná

$2x_{11}+3x_{21}$ $2x_{12}+3x_{22}$
$x_{11}-3x_{21}$ $x_{12}-3x_{22}$

Možná by bylo moudré říci, že to mají být zápisy matic (já vím, já vím - nedokázala jsem vymyslet, jak to udělat správně) a že hledám matice, které komutují s:

$2$ $3$
$1$ $-3$

(rovněž trotlovský zápis matice)

Takže teď mám hledat, jak to převést na soustavu rovnic?

Pavel Brožek

↑ Kotletka:

Chybí ti trojka v $3x_{21}-x_{22}$ (má být $3x_{21}-3x_{22}$ ), ale to ti asi jen vypadla.

Teď stačí porovnat prvek v prvním řádku a prvním sloupci v matici nalevo a napravo. Dostaneš

$2x_{11}+x_{12}=2x_{11}+3x_{21}.$

Stejně tak to uděláš pro zbylé tři prvky. Dostaneš tak soustavu čtyř rovnic o čtyř neznámých.

Kotletka · 10. 11. 2012 21:28

Děkuji, už jsem to našla i pro matici třetího řádu:-)

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2012 18:51

Jak najít komutující matice?

#2 10. 11. 2012 19:25 — Editoval Pavel Brožek (10. 11. 2012 19:26)

Re: Jak najít komutující matice?

#3 10. 11. 2012 19:29 — Editoval kompik (10. 11. 2012 19:32)

Re: Jak najít komutující matice?

#4 10. 11. 2012 19:36

Re: Jak najít komutující matice?

#5 10. 11. 2012 19:41

Re: Jak najít komutující matice?

#6 10. 11. 2012 19:50

Re: Jak najít komutující matice?

#7 10. 11. 2012 20:37 — Editoval Kotletka (10. 11. 2012 20:39)

Re: Jak najít komutující matice?

#8 10. 11. 2012 20:43 — Editoval Pavel Brožek (10. 11. 2012 20:43)

Re: Jak najít komutující matice?

#9 10. 11. 2012 21:28

Re: Jak najít komutující matice?

Zápatí