Matematické Fórum

Pavel Brožek

Mějme $A$ danou matici typu $n\times n$ nad tělesem $\mathbb{C}$ . Jaká je dimenze vektorového prostoru matic, které s $A$ komutují?

Ve speciálním případě, kdy matice $A$ má různá vlastní čísla, je hledaná dimenze rovna n, jak jsem ukázal zde. Jak je to ale v obecném případě?

Edit: Já řešení neznám, připadá mi to ale jako zajímavý problém, který bychom společnými silami mohli vyřešit.

check_drummer · 10. 11. 2012 20:16

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, k té původní úloze, kterou uvádíš, jsem napsal pár otázek.

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 21:18

Matice $A$ se dá rozložit na Jordanův rozklad $A=QJ_AQ^{-1}$ ( $Q$ je regulární matice složená ze zobecněných vlastních vektorů, $J_A$ je matice s Jordanovými bloky). Hledáme matice $B$ , pro které platí

$(1)\qquad AB=BA.$

To přepíšu pomocí Jordanova rozkladu a upravím.

$QJ_AQ^{-1}B&=BQJ_AQ^{-1}\\ J_AQ^{-1}BQ&=Q^{-1}BQJ_A$

Pro každou matici $B$ tedy existuje matice $C=Q^{-1}BQ$ , která splňuje

$(2)\qquad J_AC&=CJ_A.$

Najdeme-li všechny matice $C$ splňující (2), snadno pomocí nich vyjádříme všechny matice splňující (1) jako $B=QCQ^{-1}$ .

Stačí tedy problém vyřešit pro speciální matice – blokově diagonální matice složené z Jordanových bloků. Když nám někdo zadá matici, která není v takovém tvaru, snadno převedeme problém na tento jednodušší.

check_drummer · 10. 11. 2012 21:54

↑ Pavel Brožek:
A bude pak přechodem mezi $C_i$ (některé $C$ podle Tvého značení) a $B_i$ (jim odpovídající $B$ podle Tvého značení) zachována nezávislost? Tedy - budou matice $C_i$ lineárně nezávislé, právě když budou matice $B_i$ lineárně nezávislé? (Otázka je důležitá pro to, abychom mohli rozhodnout o dimenzi jen pomocí matic $C$ .)

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 22:12

Dále v tomto tématu předpokládejme, že $A$ je blokově diagonální s Jordanovy bloky. Počet různých vlastních čísel matice $A$ si označme $k$ a vlastní čísla označme $\lambda_i$ , kde $i\in\{1,\ldots,k\}$ .

Pro vlastní číslo $\lambda_i$ matice $A$ si označme $X_i=\{v\in\mathbb{C}^n|Av=\lambda_i v\}$ ( $X_i$ je podprostor vektorů s vlastním číslem $\lambda_i$ ).

Nechť $v\in X_i$ . Pak platí $A(Bv)=(AB)v=(BA)v=B(Av)=B(\lambda_iv)=\lambda_i(Bv)$ , vektor $Bv$ je tedy také vlastním vektorem matice A s vlastním číslem $\lambda_i$ , tedy $Bv\in X_i$ . Podprostor $X_i$ je tedy invariantní při působení B. To znamená, že B musí být blokově diagonální, kde bloky odpovídají jednotlivým invariantním podprostorům $X_i$ .

Matice $A$ a $B$ se tedy násobí po blocích. U matice A si tyto bloky označme $A_1$ až $A_k$ . Celá matice $A$ bude komutovat s maticí $B$ právě když budou komutovat bloky $A_i$ s příslušnými bloky matice $B$ . Jestliže si hledanou funkci "dimenze prostoru komutujících matic" označíme $f$ , platí pak

$f(A)=\sum_{i=1}^kf(A_i).$

Opět se problém zjednodušil, dále můžeme předpokládat, že matice A má jediné vlastní číslo $\lambda$ , obecný případ pak snadno vyřešíme pomocí rovnosti na předchozím řádku.

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ano, ukážu např. směr „pokud množina matic $\{B_i|i=1,\ldots,n\}$ je lineárně nezávislá, pak množina matic $\{C_i|i=1,\ldots,n\}$ je také lineárně nezávislé“.

Předpokládejme, že pro nějaká $\alpha_i$ platí $\sum_{i=1}^n\alpha_iC_i=0$ . Vynásobením rovnosti z levé strany $Q$ a z pravé $Q^{-1}$ dostanu $\sum_{i=1}^n\alpha_iQC_iQ^{-1}=0$ , což je $\sum_{i=1}^n\alpha_iB_i=0$ . Jenže z předpokladu nezávislosti matic $B_i$ mám nulovost všech $\alpha_i$ , tedy i matice $C_i$ jsou nezávislé.

Nebo jednodušeji: zobrazení $B\mapsto Q^{-1}BQ$ je bijekce z prostoru matic B splňujících $AB=BA$ do prostoru matic C splňujících $J_AC=CJ_A$ . Prostory mají tedy stejnou dimenzi.

(Vím, že vynechávám spoustu detailů, ale kdybych se měl kompletně rozepisovat, tak by to bylo až moc dlouhé. Radši proto zodpovím doplňující otázky.)

check_drummer · 10. 11. 2012 22:42

↑ Pavel Brožek:
Nejsem si jist, zda lze použít úvahu, že "existuje-li mezi prvky dvou vektorových prostorů bijekce, pak mají stejnou dimenzi". Např. $R_1$ a $R_2$ mají různé dimenze, ovšem bijekce mezi jejich prvky existuje (mají stejnou mohutnost).
To ovšem nic nemění na tom, že uvedené tvrzení platí (jak jsi psal výše).

check_drummer · 10. 11. 2012 22:46

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, čekal jsem jednu z možností hodnoty dimenze: n a nebo počet vlastních vektorů, tak uvidíme...

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 22:56

↑ check_drummer:

Asi máš pravdu, měl bych být opatrnější. Tady je to lineární bijekce na konečněrozměrných prostorech, tak v takovém případě by to už snad mělo stačit.

Dimenze určitě může být větší než n, např. pro $A=I$ je dokonce dimenze $n^2$ .

check_drummer · 10. 11. 2012 23:02

↑ Pavel Brožek:
Ale příklad s $R_1$ a $R_2$ je také konečněrozměrný (nekonečný) prostor a také to nestačí...

To je pravda - tak to asi bude naopak, dimenze by mohla být dána jako $\sum{k_i^2}$ , kde $k_i$ je násobnost i-tého vlastního čísla. Ale dál už radši tipovat nebudu. :-)

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 23:14

↑ check_drummer:

Ale neexistuje mezi nimi lineární bijekce. Ale tohle radši neřešme, ať se nebavíme o víc věcech současně, když už je to vyřešené tím druhým způsobem :-)

Nebude to tak. Záleží i na „struktuře“ podprostoru $X_i$ (tj. jaké tam budou Jordanovy bloky). Např. pro horní trojúhelníkovou matici 2x2 s jedničkami a jednou nulou bude dimenze 2. Pro matici 3x3 s jedním jediným vlastním číslem je dimenze prostoru komutujících matic jedno z čísel $3,5,9$ , mám tu ty případy rozepsané na papíře právě podle možného uspořádání Jordanových bloků a snažím se z toho získat nějaká obecnější tvrzení.

Pavel Brožek

Tak myslím, že mám řešení (a dokonce dokážu sestrojit všechny matice komutující s maticí $A$ ) :-).

Pokud $A$ je obecná matice typu $n\times n$ s $m$ vlastními čísly $\lambda_i$ , $i=1,\ldots,m$ , kde každému vlastnímu číslu přísluší bloková matice složená z $k_i$ Jordanových bloků o velikostech $s_i^j$ , $j=1,\ldots,k_i$ , pak dimenze prostoru komutujících matic s maticí $A$ je

$f(A)=\sum_{i=1}^m\sum_{j,l=1}^{k_i}\min\{s_j,s_l\}$

Řešení nemám sepsané úplně dopodrobna, ale tak nějak to plyne z obrázku a jeho konstrukce :-). Doplním později.

vanok · 11. 11. 2012 15:13 — Editoval vanok (12. 11. 2012 15:07)

↑ Pavel Brožek:
Pozdr(avujem.
Najprv odkaz na wikipediu
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paire_de_m … ommutantes
po francuzky ( ale so mnou ste si uz na to zvykol, a tak ci tak, na En nie je skoro nic)

Zakladne zname poznatky,
su Veta ktoru pises v predoslom prispevku.

Veta:
V priestore dim m, rieseni matic rovnice AX= XA ( stvorcova matica radu n)
mame equivalencie:

m=n
charakteristiky polynom A = minimalny pol. A
kazda matico co komutuje z A, je polynom matice A

veta
Dve matice (operatory), co komutuju v jednom priestore na C
maju spolocny jeden vlastny vektor

veta:
Ak naviac su diagonizable, tak maju spolocnu bazu vlastnych vektorov

veta

Majme dve matice A a B take, ze ak kazda matica matica, co komutuje z A, komutuje tiez z B, potom maatica je polynome matice A

Poznamka, aj problem "Lie bracket" v Lie algebre je tematika blizka, k tvojmu problemu.
To co som vyssie napisal je z mojich osobnych poznamok, a zda sa mi, ze je to inspirovane jednou knihou od Prasolov-a.

Pavel Brožek

K mému řešení:

Vzal jsem si matici $A$ s jedním vlastním číslem $\lambda$ a hodnotami $\sigma_1$ až $\sigma_{n-1}$ těsně nad hlavní diagonálou. $\sigma_i$ je buď nula nebo jedna (aby to odpovídalo Jordanovým blokům). Pak jsem si napsal prvek matice $A$ :

$A_{ij}=\lambda\delta_{ij}+\sigma_i\delta_{i+1,j}$

Rozepsal jsem si součiny $AB$ a $BA$ obecné matice $B$ a pro komutaci dostal podmínky pro $i,j=1,\ldots, n-1$ :

$\sigma_iB_{i+1,1}=0\nl \sigma_jB_{nj}=0\nl \sigma_jB_{ij}=\sigma_iB_{i+1,j+1}$

Pro ilustraci jsem si zvolil, že $\sigma_i$ bude vždy rovno jedné kromě indexů $k$ a $l$ , matice $A$ tedy bude mít tři Jordanovy bloky o velikostech a, b, c. Z předchozích podmínek pak plyne, že spousta prvků matice $B$ musí být nulová a spousta prvků se „nakopíruje“ do pozice „o jeden řádek a jeden sloupec víc“ (resp. „o jeden řádek a jeden sloupec míň“). Zbylé prvky matice $B$ jsou volné parametry. Na obrázku je matice B. Tmavší oranžovou jsou vybarvené prvky, které musí být 0 rovnou, světle (docházela mi fixa :-D) jsou pak nulové prvky, které se „nakopírovaly“. V nevybarvených polích (včetně „diagonál“) jsou pak volné prvky, ale tak, že v každém bloku jsou ve směru doprava dolu stejné prvky. Když si to člověk kreslí, tak je „tak nějak jasné“, že to bude vypadat stejně pro libovolný počet Jordanových bloků.

Je už snadné spočítat počet volných parametrů.

↑ vanok:

Ahoj,

díky. Jsem ale vlastně rád, že jsi svůj příspěvek napsal až po tom, co jsem si ten problém sám vyřešil. Popravdě by mě asi příliš nebavilo luštit francouzsky psaný text (pro mě je francouzština úplně cizí jazyk). Připadá mi často zábavnější vyřešit si problém sám než si prostě přečíst řešení, které je v literatuře. A ani nemám ambice tuto látku nějak více studovat nad rámec toho, co jsem si sám „vykoumal“. :-)

Sekci zajímavých úloh chápu hlavně jako možnost vyzkoušet si najít řešení pokud možno sám bez hledání jiných zdrojů na internetu.

vanok · 12. 11. 2012 15:06

↑ Pavel Brožek:,
Ano mas pravdu, ze ide o samostatne riesenia, ale zda sa mi, ze je dobre vediet, aspon pouzivany slovnik v oblasti o ktorej pises ... tak preto som vyssie napisal, zakladne vety na tuto tematiku.
A iste tato tema ma aj aplikacie v fyzike, napr via Lie-algebry.... ale o tom nic neviem.

A co je iste, na tejto teme, pracuje vela ludi ... cize mozeme cakat pokroky....

check_drummer · 12. 11. 2012 20:59

↑ Pavel Brožek:
Ahoj,
z $\sigma_jB_{ij}=0\n$ dle mého plyne, že všechny sloupce v B různé od k,l,n musí být =0. To ale v obrázku nevidím. Nebo to chápu špatně? Díky.

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ahoj, máš pravdu, přepsal jsem se, když jsem to opisoval z papíru. Místo i tam mělo být n, opravil jsem to.

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2012 19:42 — Editoval Pavel Brožek (10. 11. 2012 21:22)

Dimenze prostoru komutujících matic

#2 10. 11. 2012 20:16

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#3 10. 11. 2012 21:18

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#4 10. 11. 2012 21:54

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#5 10. 11. 2012 22:12

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#6 10. 11. 2012 22:18 — Editoval Pavel Brožek (10. 11. 2012 22:28)

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#7 10. 11. 2012 22:42

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#8 10. 11. 2012 22:46

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#9 10. 11. 2012 22:56

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#10 10. 11. 2012 23:02

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#11 10. 11. 2012 23:14

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#12 11. 11. 2012 13:14 — Editoval Pavel Brožek (11. 11. 2012 13:14)

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#13 11. 11. 2012 15:13 — Editoval vanok (12. 11. 2012 15:07)

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#14 12. 11. 2012 14:31 — Editoval Pavel Brožek (12. 11. 2012 21:05)

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#15 12. 11. 2012 15:06

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#16 12. 11. 2012 20:59

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

#17 12. 11. 2012 21:06 — Editoval Pavel Brožek (12. 11. 2012 21:07)

Re: Dimenze prostoru komutujících matic

Zápatí