Matematické Fórum

SoniCorr · 18. 11. 2012 21:29

Zdravím mám zadání : $\lim_{n\to+\infty }=n(\sqrt[n]{e}-1)=?$ údajně to má vyjít jednička. Nemám tušení jak se k tomuto výsledku dostat. Jestlis se nepletu tak cislo pod n tou odmocninou jde k jedničce. Nevíte prosím jak na to?

Honza90

↑ SoniCorr:
$\lim_{n\to+\infty }=n(\sqrt[n]{e}-1)=\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{n}}-1)=\lim_{n\to+\infty }n(1+\frac{1}{n}-1)=1$

Jak je ta matematika krásná :)

Bati · 18. 11. 2012 22:56

↑ Honza90:
Tohle napadne skoro každého, když ten příklad uvidí, ale jak to zdůvodníš?

Mr.Pinker · 18. 11. 2012 23:12

↑ Bati:
často se tento zápis bere jako definice e

Honza90 · 18. 11. 2012 23:13

↑ Bati:
co jak zdůvodním? substituce za e.

Arabela

↑ Honza90:
lenže e sa nerovná priamo (1+1/n)^n, ale limite tohoto výrazu pre n do nekonečna...

Honza90 · 18. 11. 2012 23:18

↑ Arabela:
však n jde do nekonečna.

Bati · 18. 11. 2012 23:21 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:37)

↑ Mr.Pinker:
To já vím, o to mi nejde.

↑ Honza90:
Použil jsi tuto úpravu:
$\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{n}}-1)=\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{e}-1)$ (Schválně jsem to otočil)
Kdyby šlo takto jednoduše substituovat, jak tvrdíš, tak bych taky mohl psát třeba, že $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=\lim_{n\to\infty}(1+0)^n=1$ , protože $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ . Takže to je nesmysl a je třeba abys svou úpravu zdůvodnil.

Arabela · 18. 11. 2012 23:25

↑ Bati:
skvelý protipríklad...

Honza90 · 18. 11. 2012 23:30

↑ Bati:
Nevím, kde jsem podle tebe udělal chybu, n v mocnině se sežere s n v odmocnině, to je povolená algebraická úprava. Ten tvůj přiklad by vyšel (1+0) na nekonečno, mimochodem.

Bati · 18. 11. 2012 23:37 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:38)

Jo, díky, zapomněl jsem tam nko v mocnině, ale to na věci nic nemění, protože $\lim_{n\to\infty}(1+0)^n=1$ stále platí.
Odpovědí na to, kde jsi udělal chybu je to, že jsi použil jisté tvrzení, které obecně neplatí, což jsem ti ukázal na tom protipříkladě. Tudíž neříkám, že tvůj výsledek je špatný, ale říkám, že nevíš, jestli je správný. To n, které jsi tam dosadil je úplně jiné n než to v původní limitě.

Honza90 · 18. 11. 2012 23:43

↑ Bati:
$\lim_{n\to\infty}(1+0)^n$ je neurčitý výraz. Nevidím na té substituci nic špatného, ani tvůj protipříklad mě zatím o ničem nepřesvědčil.

Bati · 18. 11. 2012 23:45 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:47)

↑ Honza90:
Takže ty tvrdíš, že posloupnost $\{1, 1^2, 1^3, \ldots\}=\{1,1,1,\ldots\}$ nemá limitu 1?

Honza90

↑ Bati:
Upřímně, pořádně nevím proč to tak je, ale $1^{\infty }$ není definováno. Schválně mrkni na wolfram ;)

Můžeš si to zdůvodnit třeba takhle: Konvergentní posloupnost, je taková, ve které se rozdíl mezi n-tým a n+1-ním členem postupně zmenšuje, a to se tady očividně neděje.

JohnPeca18

mna teda tento sposob nenapadol spis bych to delal takhle
$\lim_{n\to\infty}\frac{(e^{1/n}-1).1/n}{1/n}.n=\lim_{n\to\infty}1.1/n.n=1$

Bati · 18. 11. 2012 23:56 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:57)

↑ Honza90:
Já vím, že $1^\infty$ není definováno, tenhle výraz prostě nemá smysl. Ale já mám $\lim_{n\to\infty}1^n$ , což je přesně definovaný výraz.

jrn · 18. 11. 2012 23:59

↑ SoniCorr: FJFI?
přesně to co píše ↑ Bati: píše i Pošta, když opravuje písemky, většinou k tomu příkladu ještě ale připíše 0 bodů :-D

Bati · 19. 11. 2012 00:02

↑ JohnPeca18:
Ano, to je asi nejrychlejší způsob. Pochopil jsem správně, že sis pod tím představil limitu funkce $\frac{e^x-1}{x}$ v nule a pak pomocí Heineho věty to přenesl na danou posloupnost?

Honza90 · 19. 11. 2012 00:07

↑ Bati:
Nemáš nějaký jiný protipříklad?

JohnPeca18 · 19. 11. 2012 00:09

↑ Bati:
Ano presne to som myslel.

Bati · 19. 11. 2012 00:13

↑ jrn:

Díky, už mě začínala přepadat zlost :) Upřímně je mi totiž líto člověka, který stvořil toto téma a místo správné rady se dozvídal věci, jako

Honza90 napsal(a):
↑ Bati:
Upřímně, pořádně nevím proč to tak je, ale $1^{\infty }$ není definováno. Schválně mrkni na wolfram ;)

Můžeš si to zdůvodnit třeba takhle: Konvergentní posloupnost, je taková, ve které se rozdíl mezi n-tým a n+1-ním členem postupně zmenšuje, a to se tady očividně neděje.

Bati · 19. 11. 2012 00:17 — Editoval Bati (19. 11. 2012 00:17)

↑ Honza90:
Kolik budeš chtít
$1=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{\frac1n}}{\frac1n}\not=\lim_{n\to\infty}\frac0{\frac1n}=0$

Honza90 · 19. 11. 2012 00:22

↑ Bati:
nějakou kde vystupuje $e=(1+\frac{1}{n})^{n}$ prosím

Bati · 19. 11. 2012 00:30

Nechápu, proč ti nestačí předchozí příklad spolu s tím prvním, vždy jde o stejný princip - nelze obecně počítat limitu po částech. Příklad si uděláš sám tak, že vezmeš libovolný příklad ze sbírky a dosadíš za nějaké jedno n limitní bod.

Bati · 19. 11. 2012 00:35 — Editoval Bati (19. 11. 2012 00:36)

Pro úplnost např. limita $\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\text{cotg}^2\:x}=e$ , jak se můžeš přesvědčit správným výpočtem, ale pokud bys za $x^2$ dosadil 0, tak ti zřejmě vyjde 1, protože jedna na jakékoliv číslo z $\mathbb{R}$ zůstává vždy jednou.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2012 21:29

limita posloupnosti

#2 18. 11. 2012 22:40 — Editoval Honza90 (18. 11. 2012 22:46)

Re: limita posloupnosti

#3 18. 11. 2012 22:56

Re: limita posloupnosti

#4 18. 11. 2012 23:12

Re: limita posloupnosti

#5 18. 11. 2012 23:13

Re: limita posloupnosti

#6 18. 11. 2012 23:16 — Editoval Arabela (18. 11. 2012 23:22)

Re: limita posloupnosti

#7 18. 11. 2012 23:18

Re: limita posloupnosti

#8 18. 11. 2012 23:21 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:37)

Re: limita posloupnosti

#9 18. 11. 2012 23:25

Re: limita posloupnosti

#10 18. 11. 2012 23:30

Re: limita posloupnosti

#11 18. 11. 2012 23:37 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:38)

Re: limita posloupnosti

#12 18. 11. 2012 23:43

Re: limita posloupnosti

#13 18. 11. 2012 23:45 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:47)

Re: limita posloupnosti

#14 18. 11. 2012 23:48 — Editoval Honza90 (18. 11. 2012 23:55)

Re: limita posloupnosti

#15 18. 11. 2012 23:54 — Editoval JohnPeca18 (19. 11. 2012 01:11)

Re: limita posloupnosti

#16 18. 11. 2012 23:56 — Editoval Bati (18. 11. 2012 23:57)

Re: limita posloupnosti

#17 18. 11. 2012 23:59

Re: limita posloupnosti

#18 19. 11. 2012 00:02

Re: limita posloupnosti

#19 19. 11. 2012 00:07

Re: limita posloupnosti

#20 19. 11. 2012 00:09

Re: limita posloupnosti

#21 19. 11. 2012 00:13

Re: limita posloupnosti

Honza90 napsal(a):

#22 19. 11. 2012 00:17 — Editoval Bati (19. 11. 2012 00:17)

Re: limita posloupnosti

#23 19. 11. 2012 00:22

Re: limita posloupnosti

#24 19. 11. 2012 00:30

Re: limita posloupnosti

#25 19. 11. 2012 00:35 — Editoval Bati (19. 11. 2012 00:36)

Re: limita posloupnosti

Zápatí