Matematické Fórum

Jozef3 · 24. 11. 2012 11:41

Ahoj,
mám dotaz, na nějž mi sice odpověď připadá zřejmá, ale jsem zmatený, takže bych rád od někoho chytrého dostal odpověď. Otázka zní: Je obor $Z[i\sqrt{2}]$ gaussovský (unique factorization domain) a eukleidovský?
Mám silné tušení, že není, protože v něm nemohu najít rozklad na ireducibilní činitele např. čísel 7 a 29. A pokud by byl tento obor eukleidovský, musela by na něm fungovat eukleidovská norma definovaná předpisem $a^{2}+2b^{2}$ . A problém pak je, že nenaleznete dvojici čísel a, b takovou, že $a^{2}+2b^{2}=7$ a stejně tak $a^{2}+2b^{2}=29$ , tudíž prvky 7 a 29 nemají rozklad na ired. činitele, tudíž obor nemůže být gaussovský (a tedy eukleidovský tím spíš).
Mé zmatení pramení z toho, že jsem odpověď na tuto otázku hledal na anglických matematických forech a našel jsem tam několik lidí, kteří tvrdí, že daný obor je gaussovský i eukleidovský. Jak to tedy je?
Díky za odpověď, snad mi to udělá navždy jasno.

Jozef3 · 24. 11. 2012 12:38

Aha, sorry.
Teď jsem si uvědomil, že prvky 29 a 7 mohou být klidně v oboru ireducibilní sami o sobě, takže můj „důkaz“ negaussovkosti a neeukleidovskosti oboru neplatí.l Vycházel jsem totiž z předpokladu, že když norma prvku není prvočíslo, tak ten prvek nutně není ireducibilní. Uvědomil jsem si však, že tomu tak není.
Má otázka však trvá.

Bati · 24. 11. 2012 13:06

Ahoj,
myslím, že je eukleidovský, protože tam můžeš klidně dělit se zbytkem tak, aby příslušná norma zbytku byla menší než norma toho, čím dělíš.

Jozef3 · 24. 11. 2012 13:21

↑ Bati: Ano, teď už si také myslím, že eukleidovský je. Srozumitelný důkaz takového faktu se mi sice vygooglit nepodařilo, ale myslím, že toto téma můžeme uzavřít a spokojit se s tím, že tomu tak prostě je.

kompik · 24. 11. 2012 13:23 — Editoval kompik (24. 11. 2012 13:26)

↑ Jozef3:
Treba to spravit podobne ako ste to robili pre Z[i].

The ring $\mathbb Z[\sqrt{-2}]= \{a+b\sqrt{-2} ; a\in \mathbb Z,b\in \mathbb Z \}$ has a Euclidean algorithm - link na MSE.

To mi vratilo hned medzi prvymi vysledkami, ked som do Googlu dal Z "sqrt 2" i euclidean ring.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2012 11:41

Gausovskost a eukleiodovskost oboru Z[i odmocnina(2)]

#2 24. 11. 2012 12:38

Re: Gausovskost a eukleiodovskost oboru Z[i odmocnina(2)]

#3 24. 11. 2012 13:06

Re: Gausovskost a eukleiodovskost oboru Z[i odmocnina(2)]

#4 24. 11. 2012 13:21

Re: Gausovskost a eukleiodovskost oboru Z[i odmocnina(2)]

#5 24. 11. 2012 13:23 — Editoval kompik (24. 11. 2012 13:26)

Re: Gausovskost a eukleiodovskost oboru Z[i odmocnina(2)]

Zápatí