Matematické Fórum

hanziczech · 28. 11. 2012 17:25

První část cyklistické trasy tvoří stoupání dlouhé 3 km, zbylou část klesání dlouhé 13 km.
Pavlova průměrná rychlost na celé trase byla dvojnásobkem jeho rychlosti na první části
trasy, jež byla o 16 km/h menší než na druhé části trasy. Za jak dlouho ujel Pavel celou
trasu?

Můj postup:

Ze zadání

$s_{1}= 3 km$
$s_{2}= 13 km$
$v_{p}= 2v_{1}$
$v_{2}= v_{1} - 16$
$t=?$

Postup

$v=v_{1}+v_{1}-16 \Rightarrow v=2v_{1}-16$
$v=\frac{s}{t}\Rightarrow 2v_{1}-16=\frac{(s_{1}+s_{2})}{t}\Rightarrow t=\frac{16}{2v_{1}}+16\Rightarrow ????$

marnes · 28. 11. 2012 17:31

↑ hanziczech:

1) osobně bych napsal $v_{2}= v_{1} + 16$
2) proč výslednou rychlost počítáš jako součet rychlostí?

Cheop · 29. 11. 2012 12:06 — Editoval Cheop (30. 11. 2012 14:08)

↑ hanziczech:
První část cyklistické trasy tvoří stoupání dlouhé 3 km, zbylou část klesání dlouhé 13 km.
Pavlova průměrná rychlost na celé trase byla dvojnásobkem jeho rychlosti na první části
trasy, jež byla o 16 km/h menší než na druhé části trasy.
Za jak dlouho ujel Pavel celou trasu?

Označím:
v_1 - rychlost na prvním úseku
v_2 - rychlost na druhém úseku
t_1 - čas na prvním úseku
t_2 - čas na druhém úseku
t - celkový čas (ten máme určit)

Ze zadání lze sestavit rovnice:
1)
$v_1\,t_1=3\\v_1=\frac{3}{t_1}\\2v_1=\frac{6}{t_1}$ první úsek
2)
$v_2\,t_2=13\\v_2=\frac{13}{t_2}$ druhý úsek
3)
$\frac{16}{t_1+t_2}=2v_1$ průměrná rychlost
4)
$v_2=v_1+16$ porovnání rychlostí
5)
$t=t_1+t_2$ celkový čas
Z rovnic 2) a 4)
$\frac{13}{t_2}=\frac{3}{t_1}+16\\t_2=\frac{13t_1}{16t_1+3}$ toto dosadíme do rovnice 3)
$\frac{16}{t_1+\frac{13t_1}{16t_1+3}}=\frac{6}{t_1}\\\frac{16}{16t_1(t_1+1)}=\frac{6}{t_1}\\16t_1+3=6t_1+6\\10t_1=3\\t_1=\frac{3}{10}\,\rm{h}$

Dopočtene čas t_2
$t_2=\frac{13t_1}{16t_1+3}\\t_2=\frac{\frac{13\cdot 3}{10}}{\frac{16\cdot 3}{10}+3}\\t_2=\frac{39}{78}=\frac 12\,\rm{h}$

Dopočítáme celkový čas t
$t=t_1+t_2=\frac{3}{10}+\frac 12\\t=\frac 45\,\rm{h}=48\,\,\rm{minut}$

Pavel ujel celou trasu za 48 minut

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2012 17:25

Slovní úloha o pohybu

#2 28. 11. 2012 17:31

Re: Slovní úloha o pohybu

#3 29. 11. 2012 12:06 — Editoval Cheop (30. 11. 2012 14:08)

Re: Slovní úloha o pohybu

Zápatí