Matematické Fórum

maestorm · 30. 11. 2012 09:51

Hezký den,
mohl by mi prosím někdo objasnit správný postup výpočtu vlastních čísel a vektorů této matice? $M = [\begin{smallmatrix} 5&8&16\\ 4&1&8 \\ -4 & -4 & -11 \end{smallmatrix}]$

Předem děkuji za pomooc, rád bych se na ttomto příkladě naučil možné výpočty vlastních čísel a vektorů, proto budu vděčný za všechny možné alternativy výpočtu.

Děkuji, s pozzdravem Tomáš.

kompik · 30. 11. 2012 10:30 — Editoval kompik (01. 12. 2012 08:16)

Jeden priklad na vlastne cisla je aj vo vzorovych prikladoch: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3108

V tvojom pripade sa mozno trochu zjednodusi vypocet vlastnych cisel, ak si vsimnes, co sa stane po odcitani druheho stlpec od prveho (je tam parameter uz len dvakrat, cize vypocet determinantu je o cosi jednoduchsi):
$|A-xI|= \begin{vmatrix} 5-x & 8 & 16\\ 4 & 1-x & 8\\ -4 & -4 & -11-x \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -3-x & 8 & 16\\ x+3 & 1-x & 8\\ 0 & -4 & -11-x \end{vmatrix}= (x+3) \begin{vmatrix} -1 & 8 & 16\\ 1 & 1-x & 8\\ 0 & -4 & -11-x \end{vmatrix}$

(Snad som sa nepomylil, ale aj tak si to skontroluj na WA.)

maestorm · 30. 11. 2012 12:16

Děkuji, rád bych viděl ten výpočet celý prosím, jaké jsi tam dělal operace, na ten odkaz se podívám, děkuji za něj.

kompik · 30. 11. 2012 19:22 — Editoval kompik (01. 12. 2012 08:24)

maestorm napsal(a):
Děkuji, rád bych viděl ten výpočet celý prosím, jaké jsi tam dělal operace.

Ako som napisal, v prvom kroku som odcital od prveho stlpca druhy stlpec. (Takato operacia nemeni determinant.) Potom som z prveho stlpca "vynal' x-3.
Dalej si s tym snad uz poradis - bud mozes este skusat upravy alebo uz to priamo zratat - je to uz determinant 3x3.
Kazdopadne sa Ti oplati vysledok skontrolovat na WA: http://www.wolframalpha.com/examples/Matrices.html

EDIT: Podla WA by to malo vyjst takto link.
V tom mojom povodnom vypocte bola chyba; x-3 namiesto x+3 - uz som ju opravil.

kompik · 01. 12. 2012 08:24

Pokracovat by sa dalo tak, ze s priratam k druhemu riadku prvy
$\begin{vmatrix} -1 & 8 & 16\\ 1 & 1-x & 8\\ 0 & -4 & -11-x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 8 & 16\\ 0 & 9-x & 24\\ 0 & -4 & -11-x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 9-x & 24\\ -4 & -11-x \end{vmatrix}=$
$=(x-9)(x+11)+96=x^2+2x-99+96=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ .

Takze vidime, ze charakteristicky polynom je $(x+3)^2(x-1)$ a vlastne cisla su: $-3$ (dvojnasobne) a $1$ .

Co s tym treba robit dalej?