Matematické Fórum

fffghj · 01. 12. 2012 23:12 — Editoval fffghj (01. 12. 2012 23:14)

Mám určit meze koule, jejíž okraje jsou dány:

$x^{2}+y^{2}+(z-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$

Budu převádět do sférických souřadnic a jde o určení mezí, což mi není jasné:

$0\le \varphi \le 2\pi$ ... to je mi snad jasné, prostě se $\varphi$ obtočí kolem celé osy, je to koule, kolem dokola jsou ty body.
$0\le \vartheta \le \frac{\pi }{2}$ ... zde vůbec nechápu, proč jen $\frac{\pi }{2}$ , když si myslím (ale je asi zjevné, že špatně), že se to má dotočit "od vrchu až dolů", tudíž od $0$ do $2\pi$ ?
$0\le \varrho \le cos\vartheta$ ... toto mi také není jasné, proč se prostě nevezme maximum, od $0$ do $\frac{1}{2}$ , tedy do poloměru koule?

Brano · 01. 12. 2012 23:20

V prvom rade musis napisat aku variantu sferickych suradnic pouzivas (staci vzorec), lebo ich je viacero a lisia sa casto v tom odkial kam sa meraju uhly a potom aj v tom ake maju hranice a v tom kde maju stred - podla vysledku sa mi zda, ze stred ma byt v $(0,0,0)$ a tvoje uvahy sa tocia okolo stredu $(0,0,1/2)$ .

fffghj · 01. 12. 2012 23:39

↑ Brano:

Takhle by to mělo být správně, tak je to v učebnici.

$x=\varrho cos\varphi sin\vartheta$
$y=\varrho sin\varphi sin\vartheta$
$z=\varrho cos\vartheta$

Střed té koule je v $(0,0,1/2)$ ale počítám, že střed té transformace kolem $(0,0,0)$ ? Tj. není zde žádná transformace posunutí.

Nerozumím tedy, proč jsou ty meze takové, jaké jsou.

Brano · 02. 12. 2012 00:23

Takze najprv k tomu stredu - ved prave to ze stred gule nie je v pociatku sustavy znamena, ze $\rho$ nema toho vela spolocneho s polomerom gule a teda nemame ziaden intuitivny dovod preco by sme mali cakat, ze $\rho\in[0,1/2]$ a ani to tak nie je.

V tej tvojej transformacii $\theta$ je uhol ktory oznacuje na ktorej sme rovnobezke (ako v zemepise) na takej sfere co ma stred v pociatku(!) - $(0,0,0)$ a povedzme ze ma trebars polomer $\rho=1$ - oznacme ju Z; $\theta=0$ je rovnik, $\theta=-\pi/2$ je juzny pol a $\theta=\pi/2$ je severny. Teraz si uvedom ze ta tvoja sfera (osnacme ju S) sa dotyka roviny $z=0$ a sfery Z (zvnutra). Takze to, ze vsetky body S su nad $z=0$ znamena, ze $\theta\ge 0$ - cize $\theta\in[0,\pi/2]$ . Ocividne $\phi\in[0,2\pi]$ . Ale taketo odvodenie z obrazku nie je uplne koser, ale je dobre si to ozrejmit kvoli intuicii + takto sa dost tazko nahliadnu hranice pre $\rho$ .

Poriadne sa to robi takto:
$x^{2}+y^{2}+(z-\frac{1}{2})^{2}\le\frac{1}{4}$
Nerovnost aby sme mali gulu aj s vnutrom, co je to co vlastne chces parametrizovat ... upravime na
$x^{2}+y^{2}+z^2\le z$
dosadis transformaciu a dostanes
$\rho^2\le \rho\cos\theta$
a teda
$\rho\le\cos\theta$
Samotne sfericke suradnice maju taketo hranice
$\rho\in[0,\infty]$
$\phi\in[0,2\pi]$
$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$

pouzijes odvodenu nerovnost a dostanes
$\cos\theta\ge\rho\ge 0$
a teda
$\theta\in[0,\pi/2]$
s $\phi$ sa nic nedeje teda ostava
$\phi\in[0,2\pi]$
a pre $\rho$ to iba opiseme
$\rho\in[0,\cos\theta]$