Matematické Fórum

mulder · 03. 12. 2012 18:21

Zdravím. Mám problém s tímto příkladem. Určete průběhy funkce $y=ln\frac{2+x}{2-x}$ Nakreslete graf dané funkce, průsečíky s osami, extrémy, inflexní body a asymptoty, pokud existují.
Předem děkuji za výpočty.
Vím, že stacionární bod se určí z první derivace a inflexní bod z druhé derivace. Ale opravdu netuším jak na to. Dále bych potřeboval znát jestli se jedná o sudou či lichou funkci, kde klesá a kde roste.

mikl3 · 03. 12. 2012 18:24

↑ mulder: kde konkrétně je problém?

mulder · 03. 12. 2012 18:26

↑ mikl3:Hlavně jak zjistím derivace. Už jsem vyšel ze cviku

mikl3 · 03. 12. 2012 18:45

↑ mulder: je to slož. fce, derivace vnější krát derivace vnitřní, vnější je ln, vnitřní zlomek, dokážeš?

mulder · 03. 12. 2012 18:56

↑ mikl3:První derivace mi vyšla $\frac{2-x}{2+x}\cdot (-1)$

mikl3 · 03. 12. 2012 19:01

↑ mulder: ta derivace vnější je dobře, ale ta vnitřní je podíl, musí se derivovat jinak (nebo jako součin, ale podíl mi přijde lepší)

mulder · 03. 12. 2012 19:07

↑ mikl3:tak ta vnitřní je $\frac{2x-4}{(2+x)^{2}}$ a pak celá derivace je $\frac{x-2}{x+2}\cdot \frac{2x-4}{(x+2)^{2}}=\frac{2\cdot (x-2)^{2}}{(x+2)^{2}}$ Není jednodušší mi tady napsat celý postup.

mikl3 · 03. 12. 2012 19:16 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 19:17)

↑ mulder: $\ldots=-\frac{x-2}{x+2} \cdot \frac{2-x+2+x}{(x-2)^2}=-\frac{4x-8}{(x+2)(x-2)^2}=-\frac{4}{x^2-4}$
to je první derivace

mulder · 03. 12. 2012 19:24

↑ mikl3:Děkuji a jak mám postupovat teď? Prosím, napište mi celý postup příkladu

mikl3 · 03. 12. 2012 19:37

↑ mulder: ale notak, i kdybych chtěl, čas na to nebude
navíc celý postup stvoříte vy s radami odsud
tam, kde je první derivace rovna 0 jsou body podezřelé z extrému (a také tam, kde není def obor - takže určit)

mikl3 · 03. 12. 2012 20:40

↑ mulder: zkus upravit definiční obor

mulder · 03. 12. 2012 20:40

↑ mikl3:Definiční obor jsou asi všechna čísla v R kromě -2;2. Průsečík mi vyšel 0;0. Stacionární body neexistují, ani lokální extrémy neexistují. Funkce je na svém celém definičním oboru klesající. Druhá derivace mi vyšla $\frac{8}{(x^{2}-4)^{2}}$ Není ani sudá ani lichá. A dál už nevím.

mulder · 03. 12. 2012 21:10

↑ mikl3:Vlastně jo. Moje chyba. Jinak mám to dál správně?

mikl3 · 03. 12. 2012 21:34 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 21:35)

↑ mulder: omlouvám se, k tomu Df je tam lomený výraz, ten musí být jako argument logaritmu větší než nula, takže Df bude od -2 do 2 otevřený, ještě jednou se omlouvám

mikl3 · 03. 12. 2012 21:45 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 21:45)

↑ mulder: takže Df=(-2,2), první derivace $-\frac{4}{x^2-4}$ , ta není rovna nule nikde (je kladná, tak rostoucí), proto body podezřelé z extrému budou okraje def oboru, spočítáme limity pro tyto body, průsečík je 00
po určení lichá/sudá je lichá (pomocí -x)
druhá derivace je $\frac{8x}{x^4-8x^2+16}$ ta je rovna nule v bodě 0, inflexní bod, mění se z konkávní na konvexní
asympoty existují poue šikmé a to v bodech, pro které jsme počítali limity

mulder · 03. 12. 2012 21:54

↑ mikl3:A ty limity mají jaké hodnoty?

mikl3 · 03. 12. 2012 22:28

↑ mulder: no počítáme limity zprava k -2 a zleva k +2, takže stačí pomyslně dosadit

mulder · 03. 12. 2012 22:33

↑ mikl3:To asi dosazuji do zadání co? Pokud je to tak, tak mi ty limity vycházejí vždy 0.

mikl3 · 03. 12. 2012 22:50

↑ mulder: počítáš $\lim_{x\to -2+} {\ln\frac{2+x}{2-x}}$ když dosadíme číslo, které je nepatrně větší než -2, tak limita bude mínus nekonečno
a zleva k +2 nemusíme počítat, jelikož je funkce lichá

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2012 18:21

průběh funkce

#2 03. 12. 2012 18:24

Re: průběh funkce

#3 03. 12. 2012 18:26

Re: průběh funkce

#4 03. 12. 2012 18:45

Re: průběh funkce

#5 03. 12. 2012 18:56

Re: průběh funkce

#6 03. 12. 2012 19:01

Re: průběh funkce

#7 03. 12. 2012 19:07

Re: průběh funkce

#8 03. 12. 2012 19:16 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 19:17)

Re: průběh funkce

#9 03. 12. 2012 19:24

Re: průběh funkce

#10 03. 12. 2012 19:37

Re: průběh funkce

#11 03. 12. 2012 20:40

Re: průběh funkce

#12 03. 12. 2012 20:40

Re: průběh funkce

#13 03. 12. 2012 21:04 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 21:38) Příspěvek uživatele mikl3 byl skryt uživatelem mikl3. Důvod: špatně

#14 03. 12. 2012 21:10

Re: průběh funkce

#15 03. 12. 2012 21:34 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 21:35)

Re: průběh funkce

#16 03. 12. 2012 21:45 — Editoval mikl3 (03. 12. 2012 21:45)

Re: průběh funkce

#17 03. 12. 2012 21:54

Re: průběh funkce

#18 03. 12. 2012 22:28

Re: průběh funkce

#19 03. 12. 2012 22:33

Re: průběh funkce

#20 03. 12. 2012 22:50

Re: průběh funkce

Zápatí