Matematické Fórum

Dale.Lenka · 09. 12. 2012 18:34

Ahoj,
prosím o kontrolu výpočtu integrálu.

$\int_{}^{}\frac{1}{1+sinx}dx=[sinx=\frac{2t}{1+t^{2}};dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt]=\int_{}^{}\frac{2dt}{(t+1)^{2}}=\\=2\int_{}^{}(t+1)^{-2}dt=[t+1=u;dt=du]=2\int_{}^{}u^{-2}du=2\frac{u^{-1}}{-1}=\frac{-2}{t+1}=\frac{-2}{tg\frac{x}{2}+1}+C$

Díky, Lenka

jelena · 09. 12. 2012 20:01

Zdravím,

pro kontrolu můžeš použit MAW. Mně se zdá pohodlnější pro výpočet úprava:

$\int_{}^{}\frac{1}{1+\sin x}dx=\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}\d x=\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\d x$

a podělit člen po členu - první je tabulkový, druhý substituce cos(x)=t. Případně se ozví, pokud ještě bude potřeba. Děkuji.

Dale.Lenka · 09. 12. 2012 20:43

↑ jelena:

Si nejsem úplně jistá, jak to myslíš podělit ... můžeš mi napovědět? Díky

rleg · 09. 12. 2012 21:12

↑ Dale.Lenka:

asi bylo míněno toto

$\int \frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x} \d x$

Dale.Lenka · 09. 12. 2012 21:14

↑ rleg:

Díky, před chvilkou mi to taky došlo :-)

Bati · 09. 12. 2012 21:19

Je třeba si ale uvědomit, že úprava od ↑ jelena: převede integrovanou funkci na jinou, která je definovaná jen někde a pokud chceme maximální řešení, musíme ho nakonci slepit.

jelena · 09. 12. 2012 22:43

↑ Bati:

Zdravím, doplň to ještě prosím, až budeš mít čas (univerzální goniometrická substituce také má omezení na def. obor - je tak?)

Jinak mne potěšilo, že když jsem se dívala do historie MAW, tak tento integrál se zadával v ukrajinské jazykové verzi, dobře, že se používá.

Bati · 09. 12. 2012 23:31

↑ jelena:
Integrál $\int\frac1{1+\sin{x}}\:\text{d}x$ můžeme chtít spočítat např. na intervalu $I=$-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2$$ , na větším intervalu už by integrovaná funkce nebyla definovaná.

Pokud funkci rozšíříme na $\frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}$ , tak tato nová funkce není definovaná v bodě $\frac{\pi}2\in I$ . Můžeme ale integrovat na intervalech $$-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2$$ a $$\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2$$ zvlášť a dostat tak funkce $\frac{\sin{x}-1}{\cos{x}}+C_{1,2}$ . Protože integrovaná funkce byla spojitá na $I$ , existuje k ní primitivní funkce na $I$ , kterou můžeme najít vhodnou volbou konstant $C_{1,2}$ . V tomto případě je to triviální, protože $\lim_{x\to\frac{\pi}2\pm}\frac{\sin{x}-1}{\cos{x}}=0$ , a tedy $C_1=C_2$ , ale je snad jasné, že obecně by to tak být nemuselo a to je důvod, proč jsem na to upozornil - je třeba vědět, že takový problém může nastat. Např. zde: $\int\frac1{(\sin^2{x}+2\cos^2{x})^2}$ už by to slepování nebylo tak triviální.

Samozřejmě, že pokud se v tomto příkladě použije substituce $t=\tan{\frac{x}2}$ , tak platí to samé, jen problémový bod bude $\pi$ .

jelena · 10. 12. 2012 10:01

↑ Bati:

děkuji za podrobné vysvětlení. Už opakovaně při výpočtu neurčitého integrálu narážím na neuvážení okolností použití substituce nebo úprav - zde také. Tak to beru, že univerzální substituce se zavedou i včetně podmínek (obdobně i algebraické úpravy - samozřejmě, že jen za použití platnosti úprav), ale už ne s dopadem na výsledek. Toho bych si všimla u určitého integrálu např. při změně mezí.

Děkuji velice, že přispíváte i cestou korekce příspěvků - chybí takový odborný dohled (aby to zde neupadalo).

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2012 18:34

Kontrola integrálu

#2 09. 12. 2012 20:01

Re: Kontrola integrálu

#3 09. 12. 2012 20:43

Re: Kontrola integrálu

#4 09. 12. 2012 21:12

Re: Kontrola integrálu

#5 09. 12. 2012 21:14

Re: Kontrola integrálu

#6 09. 12. 2012 21:19

Re: Kontrola integrálu

#7 09. 12. 2012 22:43

Re: Kontrola integrálu

#8 09. 12. 2012 23:31

Re: Kontrola integrálu

#9 10. 12. 2012 10:01

Re: Kontrola integrálu

Zápatí