Matematické Fórum

Ahoj :),

   on je i směrnicový vektor? To mi asi uteklo, už jsem to dlouho nedělal...

Ale zkusím se trefit do tvého příkladu.


Směrový vektor je ve směru přímky (je s ní rovnoběžný nebo totožný) zatímco vektor normálový je na tuto přímku kolmý => je kolmý i na směrový vektor.

Pro napsání rovnic(e) přímky v rovině potřebujeme buď dva body nebo jeden bod a její vektor (normálový nebo směrový).

Souřadnice vektoru spočítáme jednoduše, když máme dva body. Nejprve si jej samozřejmě nakreslíme, takže např.:


  A x----u----> B: směrový vektor u budeme zjišťovat takto: B-A, tzn: B[3; 4]-A[1; 2] = vektor u=(3-1; 4-2)=(2; 2) (konečný bod vektoru minus počáteční).

Tím jsme získali směrový vektor přímky AB. Tzn, můžeme napsat její parametrické rovnice (na ty je potřeba směrový vektor přímky a jeden její bod):

, kde t je parametr, u_1; u_2 souřadnice směrového vektoru a x_0; y_0 jsou souřadnice bodu ležícího na přímce.



Dále máme možnost vyjádřit přímku v jejím obecném tvaru, který můžeme zapsat (obecně .)) asi takto: , kde a,b jsou souřadnice normálového (!) vektoru.

- Normálový vektor se vyznačuje tím, že je kolmý na danou přímku, tudíž je kolmý i na její směrový vektor.

- Jak určíme vektor kolmý na přímku, když známe její směrový vektor?
Jednoduše!

- Víme, že pokud je skalární součin dvou vektorů roven nule, tak jsou vektory na sebe kolmé. Já ti poradím, abys se s tím nemusel stále počítat, že ti bude stačit znát souřadnice jednoho z vektorů (normálový nebo směrový) a k němu kolmý uděláš prohozením jeho souřadnic a u jedné z těchto souřadnic změníš ještě znaménko. Ukáži na příkladě:

- Mějme náš krásný směrový vektor u=(2;2), kolmý vektor k němu tedy získáme záměnou souřadnic a změnou znaménka jedné z nich (je jedno které změníme znaménko ;)). Takže náš normálový vektor (kolmý na tento směrový vektor) označme např. vektor n a bude mít souřadnice n=(-2;2) (tady to přehození není moc viditelné, ale kdyby měl vektor sořuadnice (2;3), tak kolmý na něj bude mít souřadnice (3;-2)).

Můžeme tedy dosadit do obecné rovnice přímky náš přeúžasný normálový vektor, tzn: , jak teď zjistíme neznámé c?
Jednoduše! Stačí znovu dosadit nějaký bod, který na této přímce leží. Pro změnu dosadíme bod B:



Na obecný tvar již známe vše co potřebujeme, takže můžeme dosadit za c a nechat volné neznámé x,y:



Takhle jsme získali obecnou rovnici přímky.


Teď ještě, jak na směrnicový tvar?
Nejprve se podíváme, jak si ho asi tak obecně zapsat:

, kde k je směrnice přímky (jak je nakloněná, počítá se jako tangenta úhlu mezi přímkou a kladnou částí osy x. q je jakési posunutí na ose y (snad jsem nezpletl to q ;)).

Z tohohle tvaru už je vidět, že by nám stačilo vzít rovnici v obecném tvaru a vyjádřit z ní y, že? Tak jdeme na to! :)



Takhle už by mohlo vyjádření směrnicovým tvarem stačit, ale jsi určitě zdatný matematik, takže to nenecháš bez úpravy ;)

Jen se nejprve mrkneme, jestli naše vyjádření koresponduje s naším obecným vyjádřením směrnicového tvaru, ok?





- Jen pro upřesnění, zda-li jsi postupoval správně zjistíš jednoduše. Vezmi bod, o kterém víš, že leží na přímce a dosaď jej do její rovnice (je jedno které) a pokud dostaneš shodné výsledky (u obecné rovnice by ti mělo vyjít 0=0), tak tento bod skutečně leží na přímce určené tvoji rovnicí) ;).

- Další hint: Obecnou rovnici přímky získáme i z pratametrických rovnic, jak? Znovu jednoduše! Stačí, když budeme parametrické rovnice řešít jako soustavu rovnic, kde se musíme zbavit parametru (v anšem případě t) a sečíst tyto rovnice (nakonec vše přehodíme na jednu stranu, aby jsme dostali na straně druhé nulu -viz. obecná rovnice přímky)


Pokud jsem se někde neseknul, tak se ptám, jestli je to pochopitelné a přehledné?