Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 11. 2012 21:27

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

komatrica

Tu davam jedno cvicenie, bez toho aby som vedel, ci sa da riesit.
Bud matica B, typu (n,n),
Dokazte, ze existuje matica A typu (n,n) taka, ze B= kom(A).
( oznacene kom:: komatrica).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 14. 11. 2012 00:22 — Editoval vanok (16. 11. 2012 02:36)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

V rieseni, ( pre realne matice) ktore som skoro skoncil.... som pouzil,pojem hodnosti.

Prva cast: vlasnosti ktore  musia platit pre A
Najprv, vieme, ze:

1° Pre kazdu maticu A typu (n,n) mame $A (kom A)^t= (kom A)^t A= (det A) I$

To da, ze pre maticu $A$ hodnosti $n$, ze $ (kom A)^t$ ma tiez hodnost $n$, (lebo $(com A)^t= (det A) A^{-1}$)

Pre maticu $A$ hodnosti $\leq n-2$$ kom A =O$ ( lebo vsetki vybrane determninanty typu $(n-1;n-1)$ su nulove.

Pre maticu $A$ hodnosti $n-1$, mame $kom A$ ma hodnost 1 (lebo $A (kom A)^t =O$ ...cf 1°,  z toho mame $ Im (kom A)^t \subset Ker A $ z coho $kom A$ ako aj $(kom A)^t$ maju tu istu hodnost $\leq 1$... ktora nemoze byt 0 lebo aspon jeden vybrany determinant je nenulovy.

Druha cast:konecne riesenie problemu

Na pokracovanie....
Ak niekto ma nejaku myslienku na riesenie nech nevaha


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 16. 11. 2012 00:20

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

pokracovanie
Vdaka predoslej uvahe mame:

1°Hodnost matice B musi byt: 0, 1 alebo n.
Cize, ak hodnost matice  B, oznacim ju $h(B)$, je taka ze $2 \leq h(B) \leq n-1$, neexistuje ziadna matica A, co riesi problem.

2°Ak $B=O$, vtedy $A$ moze byt nulova matica, alebo lubovolna matica hodnosti $h(A) \leq n-2$.

3°Ak $h(B)=n$, mame A je inverzibilne, a podla 1°, ↑ vanok:  #2:ktore pripominam,
Pre kazdu maticu A typu (n,n) mame $A (kom A)^t= (kom A)^t A= (det A) I$
mozme pisat
$(det A).A^{-1}=B^t$
co da:
$A= (det A).(B^t)^{-1}$
co sa tyka determinantu mame
$det B=det(B^t))=det[(det A).A^{-1}]=det(A^t)^n.det(A^{–1})=det(A^t)n–1=det (A^{n-1})$
Tak mozem vyjadrit $det(A)$ podla parity n.
n parne: $det A  = \sqrt[n-1]{det(B)}$, akoze pracujema na $\mathbb{R}$, mame jedine riesenie:
$A  = \sqrt[n-1]{det(B)}.(B^t)^{-1}$
n neparne:  a) $det(B)<0$, ziadne riesenie.
                b)  $det(B)>0$, dve riesenia
$A  = \sqrt[n-1]{det(B)}.(B^t)^{-1}$
$A  = -\sqrt[n-1]{det(B)}.(B^t)^{-1}$

4°      Dokoncim, cim skor  ....$h(B)=1$..........


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 16. 11. 2012 21:03

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: komatrica

Vypadá to jako zajimavé cvičení, které sice nejspíš nepochopím celé, nicméně komatice je tedy taková, že platí toto:
$A (kom A)^t= (kom A)^t A= (det A) I$ ?
nebo je to jen část definice? Na netu jsem nic nenašel.


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#5 16. 11. 2012 21:46 — Editoval vanok (16. 11. 2012 21:46)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Ahoj,
pod tymto menom to najdes tu na fr wikipedii
http://fr.wikipedia.org/wiki/Comatrice

a na En,  to mas tu:
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix

Akoze sa mi viac pacilo meno komatrica, tak som ho vynral pre moj dokaz, ( kde chyba este jedna cast)

Poznamka: ked som nasiel toto cvicenie, tak sa mi zdalo dost zaujimave.... a teraz , mozem povedat, ze je skor lahke... ta posledna cast mi dala najviac prace ( dam ju tu iste zajtra).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 17. 11. 2012 10:02 — Editoval Honza90 (17. 11. 2012 10:02)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: komatrica

↑ vanok:
Tak po troše přemýšlení si myslím, matice a její komatice budou existovat vždy, ale důkaz asi nebude jednoduchý. Zajímavější by bylo zjistit jestli lze vždy najít regulární matici A tak, že B=kom(A).


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#7 17. 11. 2012 13:00

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Ahoj ↑ Honza90:,
Dovolim si ti protirecit, v#3 som ukazal podmienky existence riesenia problemu. Cize, v pripadoch co som uz vyriesit si to mozes uz vyskusat. Ostava pripad ked hodnost matice B je 1.  Ale to mam tiez uz vyriesene a dam to do tohto vlakna cim skor.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 20. 11. 2012 10:28 — Editoval vanok (21. 11. 2012 02:56)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Posledna 4ta cast dokazu, ked h(B)=1.

Treba najst jednu maticu $A=(a_{i,j})=(A_1;A_2;...;A_n)$ kde $A_i$ su jej stlpce, a
$B=kom (A)$
A tiez pre $A$ plati $AB^t=B^tA=O$ (zasa rovnost 1°, cf 8my riadok #3).
Akoze $h(B)=1$, tak $B$ sa moze pisat $B=U V^t$, kde $U=(u_1,u_2,...u_n)^t$; $V=(v_1,...,v_n)^t$ dve non nulove matice.
Z toho
a) $AB^t=O \Leftrightarrow   AVU^t=O \Rightarrow  AVU^tU=O \Rightarrow  AV=O$
lebo $U^tU>0$. A preto $ \sum_{j=1}^n v_j A_j=0$
b) $B^tA=O \Leftrightarrow  VU^tA=O \Rightarrow V^tVU^tA=O\Rightarrow  U^t A=0$
lebo $V^Vv>0$. A preto  $\forall j \in \{1; 2;...;n \} U^tA_j=0$

Pre jednoduchost pisania predpokladam, ze $u_1 \neq 0; v_1 \neq 0$ ( pre hocijakky iny pripad, pouzity dokaz sa lahko adaptuje )
Tento determinat
$\begin{vmatrix}
   a_{2,2} &...& a_{2,n}\\
   .... \\

   a_{2,n} &...& a_{n,n}
\end{vmatrix}$
musi byt $v_1u_1$.

Podla la vsetkych uvedenych informacii,  hladana matica $A$ moze byt vybrana  takejto formy

Prvy stlpec $A_1$
prvy riadok od druheho prvku $(c_2, c_3,..., c_n)$, Te,nto riadok ako aj stlpec upesnim.
a zvysok nejaka podmatrica typu $(n-1;n-1)$, ktorej determinant je $u_1v_1$... preto som vybral diagonalnu maticu, ktores diagonala je $(u_1v_1; 1;...; 1)$.

Vlasnost b), presnejsie $\forall j \in \{1; 2;...;n \} U^tA_j=0$ da postupne
$c_2u_1+u_1u_2v_1=0$, co da $c_2=-u_2v_1$   ( lebo sa predpoklad, ze $u_1 \neq 0$)
a podobne

$c_3= -\frac {u_3}{u_1}$
...
$c_3n= -\frac {u_n}{u_1}$

Podla vlasnosti a), presnejsie  $ \sum_{j=1}^n v_j A_j=0$
$A_1=-\frac 1 {v_1} \sum_{j=2}^n v_j A_j$



POZOR
Ostava mi okopirovat estee, ze takto vytvorena matica splnuje vsetki  ziadane podmienky.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 02. 12. 2012 19:37 — Editoval vanok (02. 12. 2012 19:38)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Skutocne popisana matica, splnuje vsetki podmienky:
Preto  overime ze mame  $com (A)=B$

Matica $A$ ma hodnost $n-1$:
$n-1$ stlpcov su v schodovitej forme
a vdaka jej konstrukcii mame $A B^t=B^t A=O$
Z toho
$ImA \subset Ker B^t$ a $Im B^t \subset Ker A$
a vdaka rovnostam dimenzii
$ImA= Ker B^t$ a $Im B^t= Ker A$
$kom(A)$ ma tak hodnost 1 a
$Im(kom(A))^t=Ker A=Im B^t$
$Ker((kom(A))^t=Im(A)=Ker B^t$

Preto $(kom (A))^t$ a $B^t$ su proporcionalne.
Naviac clen $(1;1)$ su rovnake v oboch; cize KONECNE $(kom (A))^t=B^t$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 02. 12. 2012 19:45

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Nakonic, male konkretne cvicenie:
Najdite realnu maticu typu $(n;n)$ taku ze jej komatrica je

$B= \begin{pmatrix}
1&0&...&0 \\
2&0&...&0\\
...\\
n&0&...&0
\end{pmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 14. 12. 2012 16:58

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: komatrica

Odpoved, na malu aplikaciu vyrieseneho problemu:

Tato matica vyhovuje:

$A= \begin{pmatrix}
0&-2&-3&-4&...&-n \\
0&1&0&0&...&0\\
0&0&1&0&...&0\\
.................\\
0&0&0&0&..&1
\end{pmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson