Matematické Fórum

jelena · 13. 12. 2012 22:58

↑↑ rleg:, ↑↑ symetrala:,

také děkuji, ale nebylo za co - příspěvky Jarrro mají větší přínos (pro mne je čest :-)

Teď se považuje za tabulkový vzorec, ve kterém se vyskytuje $x^2\pm a^2$ nebo jen $x^2\pm 1$ potom $x^2\pm a^2=a^2$\(\frac{x}{a}$^2\pm 1\)$ (nebo nějaké "varianty" tohoto zápisu - viz tabulky interálů), potom drobná substituce $\frac{x}{a}=u$

↑↑ symetrala: Ale klíčové je dobré ovládání doplnění na čtverec, pro dosažení úpravy
$(x\pm b)^2\pm a^2=a^2$\(\frac{x\pm b}{a}$^2\pm 1\)$ a drobná substituce $\frac{x\pm b}{a}=t$ .

To jsem toho pronesla v sekci VŠ :-)

symetrala · 17. 12. 2012 20:28

↑↑ rleg:
uz to celé chápu, jen prosím někoho o vysvětlení, jak je dole výsledek a tak v argumentu (1/3 * t) tak co za to t, dosadit?
Musí to vyjít -3arcsin(2+x)/3 , ale pokud za to t dosadim sqrt(5-4x-x^2)/3 , podle te substituce, tak to nevyjde. Děkuji

jelena · 17. 12. 2012 21:41

↑ symetrala:

Zdravím,

tomu, co povídám v příspěvku 26 nejvíce odpovídá úprava od kolegy (nejdřív doplnění na čtverec)

rleg napsal(a):
$\int \frac{7}{\sqrt{5-4x-x^2-9+9}}\d x=7\int \frac{1}{\sqrt{9-(2+x)^2}}\d x$

pokračuji vytknutím 9:

$7\int \frac{1}{\sqrt{9$1-\(\frac{2+x}{3}$^2\)}}\d x=7\int \frac{1}{3\sqrt{$1-\(\frac{2+x}{3}$^2\)}}\d x$

a substituce je $\frac{2+x}{3}=t$ .

My se možná lišíme v rozdělení čitatele, aby vznikly 2 zlomky, jak jsem popisovala, ale princip je stejný. Je to v pořádku? Děkuji.

symetrala · 17. 12. 2012 21:45

↑ jelena:
Myslim zrovna ten 2.integrál :) s tou pětkou, jak je v MAWU, na 1.stránce, uplne dole 1/3 t, tak co by se tam za to melo dosadit?

jelena · 17. 12. 2012 22:14

↑ symetrala:

MAW používá substituci: $5-4x-x^2=t^2$ , tedy Tebe zajímá, jak MAW dostal $-10\rm{arcsin}$\frac{t}{3}$$ nebo $5t$ ?

5t mám zde:

$\frac{5x+7}{\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)-3}{\sqrt{5-4x-x^2}}=-\frac{5}{2}\frac{(-2x-4)-\frac{-2}{5}\cdot 3}{\sqrt{5-4x-x^2}}$

zlomek rozdělím na 2 zlomky / to je prvni cast $-\frac{5}{2}\frac{(-2x-4)}{\sqrt{5-4x-x^2}}=-\frac{5}{2}\frac{\d u}{\sqrt{u}}$

jen moje substituce je $5-4x-x^2=u$ , aby se nepletlo s MAW. Je to vidět?

Při mém obrovském obdivu k MAW nechceš se, prosím, projít lidský postup, který zde doporučujeme?

symetrala · 17. 12. 2012 22:22

↑ jelena:
já už jsem pochopil postup z MAWu az na ten krok, jak si napsala -10arcos(t/3) (pouze ten argument t/3, nevim co presne dosadit za to t, ber to prosím podle MAWu)
To jak si to ted napsala ty, ze tam mas v 3. uprave ... - -2/5 * 3 (kde si vzala -2/5 *3), tedy tu upravu vubec nechapu. A ten vysledek co ti vyšel, dá ten výsledek co má vyjít? Tedy -10arccos (x+2)/3 ?

jelena · 17. 12. 2012 23:17

↑ symetrala:

To je, co píše Jarrro, potom ještě komentuje kolega rleg v příspěvku 25. Ale to je na můj pohled "trochu umělé zdůvodnění toho, co udělal stroj.

V příspěvku 22 - potřebuji v čitateli uvidět derivaci jmenovatele (přesně kvadratického členu pod odmocninou) a k tomu nějaké číslo.

Tedy upravuji $5x+7$ , abych v tom našla $-4-2x$ (derivace kvadratického členu pod odmocninou v jmenovateli)

$5x+7=-\frac{5}{2}(-2x-4)+?$ nejdřív jsem osamostatnila (-2x-4) a donásobím -5/2, tedy nalevo mám 5x a napravo mám 5x.

Teď (v hlavě) roznásobím závorky a mám číslo +10 napravo, proto ještě odečtu za závorkou -3. Potom mám:

$5x+7=-\frac{5}{2}(-2x-4)-3$ .

jelikož jsem -5/2 chtěla vytknout před celý velký zlomek, tak proto to vypádá trochu strašidelně. Klidně rozděl tak:

$\frac{5x+7}{\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)-3}{\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)}{\sqrt{5-4x-x^2}}-\frac{3}{\sqrt{5-4x-x^2}}$

Já tedy z 2. zlomku rovnou dostanu -3arcsin(...), což je celkový výsledek (v MAW je to 7-10).

Vidíš to tak? Děkuji.

symetrala · 17. 12. 2012 23:20

↑ jelena:
-3arccos(...) co jsou tedy ty tečky, zalezi mi na tom argumetu, co ti tedy vyšlo přesně? Děkuji

jelena · 17. 12. 2012 23:29

↑ symetrala:

mně vyjde rovnou $\frac{2+x}{3}=t$ , ale Tobě vyjde -10*arcsin(t/3).

$-5\int \frac{2}{\sqrt{5-4x-x^2-9+9}}\d x=-5\int \frac{2}{\sqrt{9-(2+x)^2}}\d x$
$t=2+x$ ,

protože podle vzorce 33 už máš tabulkový integrál s $a^2=9$

symetrala · 17. 12. 2012 23:38

$-5\int \frac{2}{\sqrt{5-4x-x^2-9+9}}\d x=-5\int \frac{2}{\sqrt{9-(2+x)^2}}\d x$ ↑ jelena:
Mohla bys jsi to prosím celé tedy rozepsat tvuj postup, udelam to podle tebe, protoze to t/3 je tam nejake zvlastni. Jestli to teda není to co si už ted napsala....děkuji

jelena · 18. 12. 2012 00:20

Myslím, že už to mám, ale rekapitulace.

V příspěvku ↑ 32: jsem rozdělila integrál na 2 zlomky:

$\frac{5x+7}{\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)-3}{\sqrt{5-4x-x^2}}=\frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)}{\sqrt{5-4x-x^2}}-\frac{3}{\sqrt{5-4x-x^2}}$

První je $\int \frac{\frac{-5}{2}(-2x-4)}{\sqrt{5-4x-x^2}}\d x$

a zde je substituce $5-4x-x^2=u$ , proto $-\frac{5}{2}\frac{(-2x-4)}{\sqrt{5-4x-x^2}}=-\frac{5}{2}\frac{\d u}{\sqrt{u}}$

--------------------------------------------------

Druhý je $\int -\frac{3}{\sqrt{5-4x-x^2}}\d x$ a zde je úprava na úplný čtverec pod odmocninou:

$-3\int \frac{1}{3\sqrt{1-$\frac{2+x}{3}$^2}}\d x$ a substituce $\frac{2+x}{3}=t$

podaří se to celé projít? Děkuji.

symetrala

↑ jelena:
cili 1.integral ti vysel -5/2 * (-4-2x)dx/ sqrt(5-4x-x^2) (po dosazení u, du...)
a v 2.integralu jeste nevim jak si udelala úpravu na úplný čtverec pod odmocninou, jeste to jestli by jsi mohla rozepsat. :)

jelena · 18. 12. 2012 10:04

↑ symetrala:

první integrál nejdřív zintegruj $-\frac{5}{2}\int \frac{\d u}{\sqrt{u}}$ , potom dosaď zpět substituci.

Úprava na čtverec - napsal Jarrro, konkrétně začneš opakováním ze SŠ (ZŠ?) :-) a pokračuješ:
$5-4x-x^2=-(x^2+4x-5)=-(x^2+2\cdot 2\cdot x+2^2)+9$
V pořádku, prosím?

symetrala

Pokud do toho druheho integralu dosadim vyjde mi -arcsin(2+x/3) ale ma vyjit -10arcsin....
Prostě jak vytýkáš tu 3 ve jmenovateli, a mas ji i pred zlomkem tak to nedá -10arcsin. Tak ještě prosím o toto vysvětlení. Děkuji

jelena · 18. 12. 2012 11:21

↑ symetrala:

Řeš, prosím, jen 2 integrály, co mám. Nic víc. Ve výsledku jsou je 2 části - zkus zadat do WA, prosím. Žádné -10 arcsin nejsou, ono se to v MAW sečte s 7arcsin.

$\frac{2+x}{3}=t$ , potom $\frac{1}{3}\d x=\d t$

symetrala

↑ jelena:
Ten 1. integral od tebe mi vysel spravne -5*aqrt(.....)
ale jak si v tom 2. dostala -3arcsin? Tedy jak ses zbavila té trojky ve jmenovateli.

jelena · 18. 12. 2012 11:38

$-3\int \frac{1}{3\sqrt{1-$\frac{2+x}{3}$^2}}\d x$ , zde se trojky vykrátí (vytkneš 1/3 z jmenovatele). Potom ale trojka se dostane odsud: $\frac{1}{3}\d x=\d t$ , proto $\d x=3\d t$ .

symetrala · 18. 12. 2012 12:00

↑ jelena:↑ jelena:
jo takhle, tu 1/3 je vlastne
jedno jestli vytknu pred nebo za integral,ze?Ale uz to chapu, slo jen o tu upravu.Moc ti Jeleno dekuji za cas a trpelivost :)

jelena · 19. 12. 2012 10:46

↑ symetrala:

není za co, s předvánočním časem to je bída, s trpělivosti to už je lepší :-) jestli budu mít čas a náladu, tak se podívám, zda se MAWu dá nabídnou lepší substituce, aby cesta byla průhlednější. Jinak taková úprava, kdy čitatel upravujeme s ohledem na jmenovatel (hledáme derivaci jmenovatele) se hodí nacvičit + úprava na čtverec. Ještě se podívej do šuplíků na MathTutor.
ano, na závěr je přepis: $-3\int \frac{1}{3\sqrt{1-$\frac{2+x}{3}$^2}}\d x=-\int \frac{1}{\sqrt{1-$\frac{2+x}{3}$^2}}\d x$

a po substituci $-\int \frac{3}{\sqrt{1-t^2}}\d t$ .

symetrala · 19. 12. 2012 10:51

↑ jelena:
Ano, už mi to je jasné, jen přijít na tu upravu citatele, cim to vynasobit abych dostal tu spravnou hodnotu. To te napadlo hned, nebo na to mas nejaky trik?(myslim to jak na zacatku nasobis citatel -5/2..) :) Protože ne vždy to jde.

symetrala

jen tak mimochodem, ted jsem narazil na lehky integral(puvodne jsem si myslel). https://dl.dropbox.com/u/28095069/Cloud … 103456.png

Nevíš kde z té substituce sebral MAW odmocninu z t-1 ? Me tam prave vyšlo jen t^2, z té substituce je to přeci logické.

jelena · 19. 12. 2012 11:00

↑ symetrala:

MAW má substituci $x^2+1=t$ , odsud $x=\sqrt{t-1}$ a to používá pro: $2x\d x=\d t$ , jelikož $\d x=\frac{\d t}{2x}$ (ještě musí dosadit za x).

Jinak tady si myslím, že se hodí Ostrogradskij, pokud jste měli.

symetrala

↑ jelena:
a proč x^2+1 =t nemohu dosadit jen jako t^2 ? O Ostrogradskij sem neco slysel, ale nic jsme s tim jeste nedelali, je to tím lehčí nějak?

symetrala · 19. 12. 2012 11:10

↑ symetrala:
tak už dobré, už to v tom vidím....jen pak tu posledni upravu jak maw udelal(ten vysledek jak presunul tu odmocninu z t-1 do citatele?

jelena · 19. 12. 2012 11:32

↑ symetrala:

teď nevím, co MAW dělal, řekla bych, že per partes. Ostrogradskij je zde rychlejší - zkus se podívat - začátek je první řádek v zelené tabulce, potom levou a pravou strany zderivovat a najít koeficienty (už bych teď čas neměla).

Matematické Fórum

#26 13. 12. 2012 22:58

Re: Integrál

#27 17. 12. 2012 20:28

Re: Integrál

#28 17. 12. 2012 21:41

Re: Integrál

rleg napsal(a):

#29 17. 12. 2012 21:45

Re: Integrál

#30 17. 12. 2012 22:14

Re: Integrál

#31 17. 12. 2012 22:22

Re: Integrál

#32 17. 12. 2012 23:17

Re: Integrál

#33 17. 12. 2012 23:20

Re: Integrál

#34 17. 12. 2012 23:29

Re: Integrál

#35 17. 12. 2012 23:38

Re: Integrál

#36 18. 12. 2012 00:20

Re: Integrál

#37 18. 12. 2012 00:28 — Editoval symetrala (18. 12. 2012 00:29)

Re: Integrál

#38 18. 12. 2012 10:04

Re: Integrál

#39 18. 12. 2012 11:08 — Editoval symetrala (18. 12. 2012 11:13)

Re: Integrál

#40 18. 12. 2012 11:21

Re: Integrál

#41 18. 12. 2012 11:28 — Editoval symetrala (18. 12. 2012 11:31)

Re: Integrál

#42 18. 12. 2012 11:38

Re: Integrál

#43 18. 12. 2012 12:00

Re: Integrál

#44 19. 12. 2012 10:46

Re: Integrál

#45 19. 12. 2012 10:51

Re: Integrál

#46 19. 12. 2012 10:55 — Editoval symetrala (19. 12. 2012 10:55)

Re: Integrál

#47 19. 12. 2012 11:00

Re: Integrál

#48 19. 12. 2012 11:03 — Editoval symetrala (19. 12. 2012 11:05)

Re: Integrál

#49 19. 12. 2012 11:10

Re: Integrál

#50 19. 12. 2012 11:32

Re: Integrál

Zápatí