Matematické Fórum

BlackBerry · 20. 12. 2012 21:09

Dobrý den,
prosím o ověření postupu při hledání řešení této soustavy rovnic (jde mi především o to, zda správně určuji řešení pro p = 1 a p = -3):
Pro danou soustavu rovnic nalezněte řešení v závislosti na parametru (píši zároveň i s mou finální maticí, kterou považuji za správně upravenou):
$\left(\begin{array}{cccc|c} p&1 & 1& 1 & 1\\ 1&p & 1& 1 & 1\\ 1&1 & p& 1 & 1\\ 1&1 & 1& p & 1 \end{array}\right)\sim\ldots \sim\left(\begin{array}{cccc|l} 1 & 1 & 1 & p & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (p+3) & 1 \\ \end{array}\right)$
Pro p z R\{-1, 3} určím čtyři stejné výrazy neznámých 1/(p+3)
Pro p=3 zjistím, že poslední rovnici nelze splnit, uvažuji tedy, že řešení soustavy pro tento parametr neexistuje. Je nutné tento závěr nějak obsáhnout v závěrečné odpovědi, když se o řešení vlastně nejedná, nebo stačí tuto hodnotu parametru mezi hodnotami parametru v řešení jen vynechat?
Pro hodnotu parametru p=1 (kvůli úpravě řádků dělením výrazem (p-1)) zjištuji, že doplněním do matice ze zadání získám čtyři stejné řádky/rovnice a tedy se domnívám, že půjde o řešení se třemi parametry. Ale nevím jistě, je-li správný postup označit libovolné neznámé, například x_2 = t, x_3 = u, x_4 = v (je to zde možné udělat?) a dopočítat x_1 = 1 - t - u - v a finální řešení pak pro tyto hodnoty zapsat následovně:
$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1,0,0,0) + t\cdot(-1,1,0,0) + u\cdot(-1,0,1,0) + v\cdot(-1,0,0,1)$ .
Je takové řešení správné a dostačující? Nebo je lepším přístupem hledání nějakého jednoduchého řešení nehomogenní soustavy a tří vzájemně lineárně nezávislých řešení homogenní soustavy? Doufám, že jsou výsledky těchto postupů stejné, ale jak jistě ověřím, jsou-li dvě různě zapsaná řešení ekvivalentní?

Předem děkuji za jakoukoli radu nebo komentář.

kompik · 20. 12. 2012 21:17

Zhodou okolností tu bol nedávno ten istý príklad: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=53439

BlackBerry napsal(a):
Dobrý den,
Pro p z R\{-1, 3} určím čtyři stejné výrazy neznámých 1/(p+3)
Pro p=3 zjistím, že poslední rovnici nelze splnit, uvažuji tedy, že řešení soustavy pro tento parametr neexistuje. Je nutné tento závěr nějak obsáhnout v závěrečné odpovědi, když se o řešení vlastně nejedná, nebo stačí tuto hodnotu parametru mezi hodnotami parametru v řešení jen vynechat?

Určite treba do odpovede napísať, že pre p=3 to nemá riešenie (t.j. množina riešení je prázdna).

Pro hodnotu parametru p=1 (kvůli úpravě řádků dělením výrazem (p-1)) zjištuji, že doplněním do matice ze zadání získám čtyři stejné řádky/rovnice a tedy se domnívám, že půjde o řešení se třemi parametry. Ale nevím jistě, je-li správný postup označit libovolné neznámé, například x_2 = t, x_3 = u, x_4 = v (je to zde možné udělat?) a dopočítat x_1 = 1 - t - u - v a finální řešení pak pro tyto hodnoty zapsat následovně:
$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1,0,0,0) + t\cdot(-1,1,0,0) + u\cdot(-1,0,1,0) + v\cdot(-1,0,0,1)$ .
Je takové řešení správné a dostačující? Nebo je lepším přístupem hledání nějakého jednoduchého řešení nehomogenní soustavy a tří vzájemně lineárně nezávislých řešení homogenní soustavy? Doufám, že jsou výsledky těchto postupů stejné, ale jak jistě ověřím, jsou-li dvě různě zapsaná řešení ekvivalentní?

Riešenie, ktoré si napísal je správne. (Ako sa ľahko presvedčíš skúškou.)

Dostal si ho v tvare, kde je to ako súčet riešenia homogénnej a nehomogénnej sústavy: (1,0,0,0) je riešenie nehomogénnej, zvyšok je riešenie homogénnej.

K otázke, ktoré premenné sa dajú voliť za parametre - vo všeobecnosti, keď sústavu upravíš na redukovaný trojuholníkový (stupňovitý) tvar, tak za parametre môžeš voliť tie stĺpce, kde v upravenej matici nemáš vedúcu jednotku (pivota).

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2012 21:09

Parametrická soustava rovnic

#2 20. 12. 2012 21:17

Re: Parametrická soustava rovnic

BlackBerry napsal(a):

Zápatí