Matematické Fórum

jrn · 22. 12. 2012 15:38

Zdravím, naprosto jsem se zasekl u tohoto příkladu

$y^\prime = (8x+2y+1)^2$

nenapadá mě žádná substituce, prostě vůbec nic. díky za každou radu.

jrn · 22. 12. 2012 16:07

↑ vanok:
Díky, takhle bych to ale řešil jako exaktní rovnici že? Zapomněl jsem napsat, že mě zajímá jakýkoliv jiný způsob.

vanok · 22. 12. 2012 17:10

Pozrem to podrobnejsie, ta moja rada nebola dobra, lebo som nepozorne cital text cvicenia. Porozmyslam trochu o tom a napisem ti.

vanok · 22. 12. 2012 17:43 — Editoval vanok (22. 12. 2012 17:44)

↑ jrn:,
Podoba sa to na Riccati-ovu rovnicu
Pozri sem

http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation

Tomas.P

↑ jrn:
Řekl bych, že se nejedná o exaktní dif. rci. Můžeš si jí upravit na tvar: $-(8x+2y+1)+\frac{1}{8x+2y+1}y'=0$ , ale $\frac{\partial M}{\partial y}{\neq}\frac{\partial N}{\partial x}$ , kde $M=-(8x+2y+1)$ a $N=\frac{1}{8x+2y+1}$ . Můžeš to obejít větou o integračním faktoru (viz. Poznámka 8.21.), ale $M$ a $N$ nemají stejný definiční obor.

jrn · 22. 12. 2012 20:28 — Editoval jrn (22. 12. 2012 20:31)

Díky za odpovědi, již jsem vyřešil podboně jak píše ↑ Tomas.P: pomocí "druhého" integračního faktoru, máme to dokonce ve skriptech..
Díky.

Tomas.P · 22. 12. 2012 20:52

↑ jrn:
Zkoušel jsi to řešit podle vanoka? Svým příspěvkem jsem chtěl říct, že se nejedná o exaktní dif. rci, proto nechci, aby došlo k nedorozumění. Zkus sem jestli tak hodit svůj postup a my ho vyhodnotíme. Předem děkuji za odpověď

jrn · 22. 12. 2012 21:08

Neřešil jsem jako exaktní rovnici, zítra snad napíšu postup řešení.

vanok · 22. 12. 2012 23:54

↑ Tomas.P:,
Pozdravujem, ako casto , je viac metod... mas pravdu, ze porovnanie moze byt instruktivne.

Tomas.P

↑ vanok:
Nedalo mi to a zkusil jsem to vyřešit jako Riccati:
1. úprava pravé strany:
(1) $y'=64x^2+16x+1+(32x+4)y+4y^2$
2. zjištění partikulárního řešení pravé strany:
$8x+2y+1=0{\Rightarrow}y_1=-\frac{1}{2}(8x+1)$
3. uvažujme novou fci z definovanou jako $z=\frac{1}{y-y_1}=\frac{1}{y+\frac{1}{2}(8x+1)}$ z toho
(2) $y=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}(8x+1)$ z čehož vyplývá $y'=-\frac{z'}{z^2}-4$
4. dosazení za y' a y do rce (1) dává po úpravě: $-\frac{z'}{z^2}-4=\frac{4}{z^2}{\Rightarrow}z'+4z^2+4=0{\Rightarrow}z=-tg(4x+C)$
5. po dosazení za z do (2) vychází: $y=\frac{1}{-tg(4x+C)}-\frac{1}{2}(8x+1)$

jrn · 26. 12. 2012 18:53 — Editoval jrn (26. 12. 2012 19:47)

rovnici jsem řešil subtitucí $u(x)=8x + 2y +2$ , odkud $y^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{2} - 4$ a poté rovnici $u^{\prime} - 2u^2 - 8 = 0$ už potom separací.
Jinak myslím, že by i měla existovat funkce tzv. integrační faktor druhého druhu, který by rovnici převedl na exaktní DR. To jsem ale neověřoval.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2012 15:38

diferenciální rovnice

#2 22. 12. 2012 15:58 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Spatne citanie textu cvicenia

#3 22. 12. 2012 16:07

Re: diferenciální rovnice

#4 22. 12. 2012 17:10

Re: diferenciální rovnice

#5 22. 12. 2012 17:43 — Editoval vanok (22. 12. 2012 17:44)

Re: diferenciální rovnice

#6 22. 12. 2012 18:44 — Editoval Tomas.P (22. 12. 2012 18:49)

Re: diferenciální rovnice

#7 22. 12. 2012 20:28 — Editoval jrn (22. 12. 2012 20:31)

Re: diferenciální rovnice

#8 22. 12. 2012 20:52

Re: diferenciální rovnice

#9 22. 12. 2012 21:08

Re: diferenciální rovnice

#10 22. 12. 2012 23:54

Re: diferenciální rovnice

#11 23. 12. 2012 14:44 — Editoval Tomas.P (25. 12. 2012 12:03)

Re: diferenciální rovnice

#12 26. 12. 2012 18:53 — Editoval jrn (26. 12. 2012 19:47)

Re: diferenciální rovnice

Zápatí