Matematické Fórum

fiast · 23. 12. 2012 20:30

Můžete mi někdo prosím napsat postup při výpočtu k tomuto příkladu?

Najděte matici, která je komutativní s maticí

7 -3
A= 5 -2

výsledek je:

u 3v
B= -5v u+9v

kompik · 23. 12. 2012 20:37

Keď som sa Googlu spýtal matice "AB=BA" site:matweb.cz, tak mi prezradil, že sa tu už úlohy takého typu riešili:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=315293
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=18140
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=36570

fiast · 23. 12. 2012 21:31

↑ kompik:

tohle mi bohužel nepomohlo...

můžete mi napsat postup? Stačí mi jeden vzorovej příklad.

kompik · 24. 12. 2012 07:53 — Editoval kompik (24. 12. 2012 07:58)

fiast napsal(a):
↑ kompik:
Stačí mi jeden vzorovej příklad.

Myslím, že v tých linkách, ktoré som postol, sa vzorových príkladoch nájde dosť, ale možno nezaškodí ešte jeden.

Hľadáme teda matice, ktoré komutujú s maticou $A=\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ .

Na začiatok si môžeme uvedomiť, že medzi riešeniami určite budú napríklad matice $I$ , $A$ . (Aj $A^2, A^3,\dots$ , to nám ale pri rozmere $2\times2$ už nedá nové riešenia - ak poznáme Cayley-Hamiltonovu vetu, tak vieme, že ďalšie mocniny už budú lineárne závislé.)

Toto bola len odbočka k tomu, čo vieme bez toho, aby sme niečo rátali - teraz už skúsme naozaj počítať. Označme si
$B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Dostaneme
$AB= \begin{pmatrix} 7a-3c & 7b-3d \\ 5a-2c & 5b-2d \end{pmatrix}$
a
$BA= \begin{pmatrix} 7a+5b & -3a-2b \\ 7c+5d & -3c-2d \end{pmatrix}$

Ak sa tieto matice majú rovnať, dostaneme sústavu rovníc

Už stačí len vyriešiť sústavu. Môžeme si ukázať jednu z možností riešenia.

Prvá aj štvrtá rovnica sa zredukujú na rovnosť $-3c=5b$ , teda $c=-\frac53b$ .

Druhú a tretiu rovnicu môžeme upraviť na
$3(a-d)=-9b$
$5(a-d)=9c=-15b$ ,
obe tieto rovnice sú ekvivalentné s $a-d=-3b$ .

Na tomto mieste vidíme, že ak $b=0$ , tak $a=d$ , čo súhlasí s tým, že jedno z riešení má byť matica $I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Teda všeobecne dostávame
$B= \begin{pmatrix} -3b+d & b \\ -\frac53b & d \end{pmatrix}= b\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -\frac53 & 0 \\ \end{pmatrix}+ d\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Je to iné vyjadrenie toho istého riešenia ako je uvedené; konkrétne keď zvolíme $b=3v$ a $d=u+9v$ , tak dostaneme presne uvedené vyjadrenie.

Môžeme pre istotu skontrolovať či matica
$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -\frac53 & 0 \\ \end{pmatrix}$
skutočne komutuje s maticou $A$ : výpočtom alebo napríklad na WolframAlpha.

Tiež si môžeme všimnúť, že pri voľbe $b=-3$ a $d=-2$ dostávame $a=7$ , $c=5$ ; teda skutočne ako jedno z riešení nám vyšla matica $A$ .

****************

Iná možnosť riešenia (ale tá by asi bola výhodná až pre väčšie rozmery) by mohla byť cez vlastné vektory. Ak je matica diagonalizovateľná, tak s ňou komutujú presne tie matice, ktoré sú pri v tej istej báze tiež diagonálne. Pokiaľ nie je diagonalizovateľná, je to asi o čosi komplikovanejšie a bola tu už na fóre nejaká diskusia o tom, kedy matica komutuje s Jordanovým blokom: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=51938