Matematické Fórum

APavlat · 29. 12. 2012 12:32

Dobrý den, nevím si rady s jednou úlohou z kinematiky.

Ze zadání $x_{1}=3+4\cos t$ , $x_{2}=2+5\sin t$ jsem zjistil, že se jedná o eliptický pohyb s rovnicí $\frac{(x_{1}-3)^{2}}{4^{2}}+\frac{(x_{2}-2)^{2}}{5^{2}}=1$ .
A teď mám zjistit složky rychlosti a zrychlení.

Ryhlosti jsou podle mě: $v_{1}=-4\sin t$ $v_{2}=5\cos t$ $v=\sqrt{(-4\sin t)^{2}+(5\cos t)^{2}}=\sqrt{16\sin^{2}t+25\cos^{2}t}$

a teď zrychlení nevím, má vyjít:
$\vec{a_{t}}(\frac{36\sin^{2}t\cdot \cos t}{16+9\cos^{2} t},\frac{45\cos^{2}t\cdot \sin t}{16+9\cos^{2} t})$
$\vec{a_{n}}(\frac{-100 \cos t}{16+9\cos^{2} t},\frac{-80\sin t}{16+9\cos^{2} t})$

APavlat · 29. 12. 2012 16:27

Prosím poraďte mi někdo. Zkoušel sem počítat $\vec{a_{t}}$ jako $\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }$ , to vyjde $\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }=-\frac{9\sin (2t)}{\sqrt{18\cos (2t)+82}}$

z toho absolutní hodnota se rovná součtu složek $a_{t1}^{2}+a_{t2}^{2}$ viz wolfram.

Ale pořád nevím, jak zjistit složky $a_{t1}$ a $a_{t2}$ a hlavně jak na normálové zrychlení $a_{n}$ . U kružnice bych jel v pohodě přes $a_{n}=a_{d}=\frac{v^{2}}{R}$ , ale jak to tady využít nevim. $R$ by zde mohlo být závislé na poloze, jakože $a_{d}$ bude mířit skoro doprostřed.

FliegenderZirkus

Ahoj, jdeš na to správně. Hledáme vektor tečného zrychlení a známe jeho velikost
$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }=-\frac{9\sin (2t)}{\sqrt{18\cos (2t)+82}}$
a směr
$v_{1}=-4\sin t$ , $v_{2}=5\cos t$ .
Stačí tedy vyjádřit jednotkový vektor ve směru vektoru rychlosti a ten vynásobit výše spočítanou délkou.

Normálové zrychlení se spočítá buďto použitím obecně platného vzorce, nebo jako rozdíl vektoru celkového a tečného zrychlení.

APavlat · 30. 12. 2012 17:56

↑ FliegenderZirkus:

Díky. :)

APavlat

↑ FliegenderZirkus:

Ještě prosím o kontrolu.

$a_{t1}=\frac{\vec{v_{1}}}{|v|}\cdot \frac{\mathrm{d}|v| }{\mathrm{d}t }$
$a_{t2}=\frac{\vec{v_{2}}}{|v|}\cdot \frac{\mathrm{d}|v| }{\mathrm{d}t }$

$a_{n1}=|v|\cdot \frac{\mathrm{d}(\frac{\vec{v_{1}}}{|v|}) }{\mathrm{d} t}$
$a_{n2}=|v|\cdot \frac{\mathrm{d}(\frac{\vec{v_{2}}}{|v|}) }{\mathrm{d} t}$

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2012 12:32

zrychlení, pohyb po elipse

#2 29. 12. 2012 16:27

Re: zrychlení, pohyb po elipse

#3 29. 12. 2012 18:42 — Editoval FliegenderZirkus (29. 12. 2012 18:46)

Re: zrychlení, pohyb po elipse

#4 30. 12. 2012 17:56

Re: zrychlení, pohyb po elipse

#5 31. 12. 2012 00:01 — Editoval APavlat (31. 12. 2012 00:05)

Re: zrychlení, pohyb po elipse

Zápatí