Matematické Fórum

Hanis · 02. 01. 2013 00:19

Musíš dokázat, že to jsou všechna řešení.

EK · 03. 01. 2013 10:12

↑↑ Jan Jícha:
Mate pravdu, prehledl jsem se. Ma tam byt $2^{x}$ . Ale na reseni to vliv nema (viz $Y^{2}$ po substituci), vypocet jsem provadel s $2^{x}$ a to nestastne $2^{x/2}$ je pouze "chyba tisku" za kterou se omlouvam.

EK · 03. 01. 2013 10:35

Po upozorneni od p. Jichy na "tiskovou" chybu v mem reseni preposilam, tentokrat snad uz bez chyby:

1) Na leve a prave strane rovnice jsou funkce, resenim rovnice je hodnota x pro ktere je hodnota funkce na leve strane stejna jako hodnota funkce na prave strane. Obe funkce jsou rostouci = jeden prusecik => jedno reseni.
2) Provedu upravy:
$\sqrt{2^{x}}$ = $2^{x/2}$
$\sqrt{3^{x-2}}$ = $3^{x/2}/3$
$\sqrt{12^{x-2}}$ = $\sqrt{(3*4)^{x-2}}$ = $\sqrt{3^{x-2}*4^{x-2}}$ = $\sqrt{(3^{x}/3^{2})*(4^{x}/4^{2})}$ = $\sqrt{(3^{x}/3^{2})*(2^{2x}/4^{2})}$ = $(3^{x/2}/3)*(2^{x}/4)$
3)Provedu nasledujici substituci:
$Y = 2^{x/2}$
$K = 3^{x/2}$
po ktere:
$\sqrt{2^{x}} = Y$
$\sqrt{3^{x-2}} = 3^{x/2}/3 = K/3$
$\sqrt{12^{x-2}} = (3^{x/2}/3)*(2^{x}/4) = (K*Y^{2})/12$
Puvodni rovnice ma potom tvar:
$Y=K/3 + (K*Y^{2})/12$
coz je kvadraticka rovnice:
$(K*Y^{2})/12 - Y + K/3 = 0$
4) Dle bodu jedna pozaduji jedno reseni a tedy diskriminant D teto kvadraticke rovnice musi byt 0:
$D = (-1^{2}) - 4*(K/12)*(K/3) = 0$
$1 - 4*K^{2}/36 = 0$
$K^{2}=9$
a tedy K = 3 nebo K = -3
5) Ze substituce $K = 3^{x/2}$ mam pro K = 3:
$3^{x/2}=3$
$x/2 = 1$
$x = 2$
Pro druhou hodnotu K = -3 mam
$3^{x/2}=-3$
ktere nevyhovi zadne realne cislo.
Resenim je tudiz x = 2.

Omlouvam se za chybu a dekuji za upozorneni.

Rumburak

Zkusme další způsob:

$(\sqrt{2})^{x}= (\sqrt{3})^{x-2} + (\sqrt{12})^{x-2}$ ,
$(\sqrt{2})^{x}= (\sqrt{3})^{x-2} + (2 \sqrt{3})^{x-2}$ ,
$(\sqrt{2})^{x}= (\sqrt{3})^{x-2}(1 + 2 ^{x-2})$ ,
$3(\sqrt{2})^{x}= (\sqrt{3})^{x}(1 + 2 ^{x-2})$ ,

$3$\sqrt{\frac{2}{3}}$^{x}= 1 + 2 ^{x-2}$ .

Funkce vlevo je klesající, funkce vpravo rostoucí, proto rovnice nemůže mít více než jeden kořen.
Tím je zřejmě $x= 2$ .

EK napsal(a):
Obe funkce jsou rostouci = jeden prusecik => jedno reseni.

Taková věta ale neplatí : rovnice $x^3 = x$ (na obou stranách rostoucí funkce) má 3 kořeny.

Anonymystik

↑↑ Emca21: Koukám, že úloha tu vydržela docela dlouho. (-:

vanok · 03. 01. 2013 20:02

Poznamka:
Zda sa mi ze velmi dobre stredoskolske riesenie napisal kolega ↑↑ Kondr:.
A tiez ho dobre vyriesili kolegovia ↑↑ halogan: ako aj ↑ Rumburak: ... ktore su riesenia vdaka variaciam funkcii...a pochopitelne je mozne napisat podobne riesenie aj vychadzajuc z povodnej formy daneho cvicenia. Inac dalsia metoda je graficke riesenie.

Osobne sa mi naviac paci postup kolegu Kondra, ktory je velmi elegantny.

Rumburak

↑ vanok:

Teď to vidím: moje řešení je v podstatě totožné s Haloganovým, čehož jsem si včera nevšiml.
Kondrovo řešení se i mně moc líbí.

Zdravím a posílám PF 2013 .

Matematické Fórum

#26 02. 01. 2013 00:19

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

#27 03. 01. 2013 10:12

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

#28 03. 01. 2013 10:35

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

#29 03. 01. 2013 17:15 — Editoval Rumburak (03. 01. 2013 17:23)

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

EK napsal(a):

#30 03. 01. 2013 18:57 — Editoval Anonymystik (03. 01. 2013 18:59)

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

#31 03. 01. 2013 20:02

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

#32 04. 01. 2013 11:25 — Editoval Rumburak (04. 01. 2013 11:26)

Re: Neřešitelná exponenciální rovnice

Zápatí