Matematické Fórum

lpfm · 05. 01. 2013 15:00

Zdravím, potřeboval bych vypočítat determinant této matice Gaussovou eliminační metodou. Pomocí subdeterminantů mi to vychází $x^{2}*y^{2}$ . Předem díky. :-)
1+x 1 1 1
1 1-x 1 1
1 1 1+y 1
1 1 1 1-y

kompik · 05. 01. 2013 15:22 — Editoval kompik (05. 01. 2013 15:42)

lpfm napsal(a):
Zdravím, potřeboval bych vypočítat determinant této matice Gaussovou eliminační metodou. Pomocí subdeterminantů mi to vychází $x^{2}*y^{2}$ . Předem díky. :-)

Zaujímalo by ma, ako vyzerá to riešenie pomocou subdeterminantov.

Ja som to skúšal takto:
$\begin{vmatrix}1+x&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}x&x&0&0\\0&-x&-y&0\\0&0&y&y\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&0&-x&-x(1-y)\\0&-x&-y&0\\0&0&y&y\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}1&1&1&1-y\\0&-x&-y&0\\0&0&y&y\\0&0&-x&-x(1-y)\end{vmatrix}=$ $xy\begin{vmatrix}1&1&1&1-y\\0&-x&-y&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1-y\end{vmatrix}=$ $xy\begin{vmatrix}1&1&1&1-y\\0&-x&-y&0\\0&0&1&1\\0&0&0&-y\end{vmatrix}=x^2y^2$
Prvá rovnosť predstavuje viac krokov spravených naraz - vždy som odrátal nasledujúci riadok od predchádzajúceho (druhý od prvého, tretí od druhého, štvrtý od tretieho).

EDIT: Vlastne sa to dalo riešiť od dosť jednoduchšie:
$\begin{vmatrix}1+x&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}x&x&0&0\\1&1-x&1&1\\0&0&y&y\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $xy\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1-x&1&1\\0&0&1&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}=$ $xy\begin{vmatrix}1&1&0&0\\0&-x&1&1\\0&0&1&1\\0&0&1&1-y\end{vmatrix}=$ $xy\begin{vmatrix}1&1&0&0\\0&-x&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&-y\end{vmatrix}=x^2y^2$

lpfm · 05. 01. 2013 18:13

přehodil jsem 1. řádek za 4., po úpravě jsem 1. řádek vynásobil (-1) a přičetl k 2. a 3. V dalším kroku jsem vynásobil první řádek (-1-x) a přičetl ke 4. Po úpravách mi v první sloupci vzniklo (1,0,0,0) což jsem zvolil jako sloupec pro submatice. Výhoda je, že budeme počítat pouze jednu, protože 3 krát vyjde 0.

-x 0 y
(-1)* 0 y y
-x -x y +xy -x

vanok · 05. 01. 2013 18:48

Pozdravujem kompik a lpfm.

Pridavam este jeden HINT na jedno dost rychle (zabavne, podla mna) riesenie ( vdaka linearite determinantu, ktory ako vieme je mulltilinearna alternovana forma), co da v prvej etape

$\begin{vmatrix}1+x&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}x&0&0&0\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}$

...necham vas pokracovat.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2013 15:00

Determinant matice 4x4

#2 05. 01. 2013 15:22 — Editoval kompik (05. 01. 2013 15:42)

Re: Determinant matice 4x4

lpfm napsal(a):

#3 05. 01. 2013 18:13

Re: Determinant matice 4x4

#4 05. 01. 2013 18:48

Re: Determinant matice 4x4

Zápatí