Matematické Fórum

PanTau · 09. 01. 2013 10:13

Zdravím, věřím že je matematiky pro Vás větší zábava než pro mě, a proto ji tu pro Vás mám:

Nevím jak na výpočet.

Můj pokus..

$_{(\frac{2n-5}{n+4})}3n*_{(\frac{2n-5}{n+4})}-5$
$\sqrt{_{(\frac{2n-5}{n+4})}3n*}\sqrt{_{(\frac{2n-5}{n+4})}-5}$
$\sqrt[n]{_{(\frac{2n-5}{n+4})}3n}*\sqrt[n]{_{(\frac{2n-5}{n+4})}-5}$

A co dál? O_o, děkuji za rady

Rumburak

↑ PanTau:
Zdravím také.
Na první pohled je vidět, že zlomek v závorce má limitu 2 , proto n-tý člen řady má limitu ... ? Co z toho plyne ?v

PanTau · 10. 01. 2013 15:03

↑ Rumburak:

Ahoj,

nevím co myslíš tím n-tý člen řady má limitu..?

Andrejka3 · 10. 01. 2013 15:12

↑ PanTau:
$\sum a_n$ .
Kolik je $\lim a_n$ ? Nutná podmínka konvergence řady?

PanTau · 10. 01. 2013 15:28

↑ Andrejka3:

Nevidím to z toho, ale řekl bych že nekonečno..?

Rumburak

↑ PanTau:

Ano, nekonečno, proto je řada divergentní (nutná podmínka konvergence řady $\sum a_n$ je $\lim a_n = 0$ ).

PanTau · 10. 01. 2013 17:32

↑ Rumburak:

Takže jde v podstatě jen o ten vnitřek závorky?

Příklad je vypočten, avšak já nevím jak na výpočet..

Rumburak

↑ PanTau:

Máme $\lim_{n \to \infty} \frac{2n-5}{n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{5}{n}}{1+\frac{4}{n}} = \frac{2-0}{1+0} = 2$ ,

takže (jak plyne z definice této limity) například k číslu $\frac{3}{2} \in (1, 2)$ existuje $K > 0$ takové, že pro všechna $n > K$ je

$\frac{2n-5}{n+4} > \frac{3}{2}$ ,

$$\frac{2n-5}{n+4}$^{3n-5}$ $> $\frac{3}{2}$^{3n-5}$ , pakliže navíc ješte bude $3n - 5 > 0$ , tj. $n > \frac{5}{3}$ .

Odtud $\lim_{n \to \infty}$\frac{2n-5}{n+4}$^{3n-5}$ $\ge \lim_{n \to \infty}$\frac{3}{2}$^{3n-5} = +\infty$ .

Hodnota poslední limity vyplývá z faktu, že $\frac{3}{2} > 1$ .

PanTau · 11. 01. 2013 12:09

↑ Rumburak:
Děkuji pane Rumburaku,
z Vašeho výkladu to nějak chápu,

ale nechápu proč je ve výsldku:

Jak k tomuto číslu dojít? Jedině jako $2^{3}$

Rumburak · 11. 01. 2013 15:40

Autoři postupovali při důkazu divergence jinou cestou - použili

Cauchyho odmocninové kriterium.

Existují i kriteria další, na různé typy řad pasují různá kriteria.

PanTau · 12. 01. 2013 13:40

↑ Rumburak:
Děkuji, mohl by jste mi ještě poradit jak to vypočítat pomocí výše zmíněného Cauchyho kritéria?

Z odkazu co jste mi poradil nevím stále jak na výpočet.

Scorpion91 · 12. 01. 2013 15:25

napoveda $\sqrt[n]{_{(\frac{2n-5}{n+4})}3n} = ({\frac{2n-5}{n+4}})^{3n\cdot \frac{1}{n}}$

Rumburak

↑ PanTau:

Pro $a_n = $\frac{2n-5}{n+4}$^{3n-5}$ je

(1) $\sqrt[n]{a_n} = $\frac{2n-5}{n+4}$^{\frac{3n-5}{n}}= $\frac{2n-5}{n+4}$^{3 - \frac{5}{n}} =$\frac{2n-5}{n+4}$^{3}$\frac{2n-5}{n+4}$^{- \frac{5}{n}}$ ,

(2) $$\frac{2n-5}{n+4}$^{3} = $\frac{2-\frac{5}{n}}{1+\frac{4}{n}}$^{3} \to 2^3 = 8$ ,

(3) $$\frac{2n-5}{n+4}$^{- \frac{5}{n}} = $\frac{n+4}{2n-5}$^{\frac{5}{n}} = $\frac{1+\frac{4}{n}}{2-\frac{5}{n}}$^{\frac{5}{n}}$ ,

poslední zlomek v závorce se zřejmě blíží k $\frac{1}{2}$ , takže pro dostatečně velká $n$ je

$\frac{1}{4} < \frac{1+\frac{4}{n}}{2-\frac{5}{n}} < \frac{3}{4}$ , $$\frac{1}{4}$^{\frac{5}{n}} < $\frac{1+\frac{4}{n}}{2-\frac{5}{n}}$^{\frac{5}{n}} < $\frac{3}{4}$^{\frac{5}{n}}$ ,

tedy dle (3)

$$\frac{2n-5}{n+4}$^{- \frac{5}{n}} > $\frac{1}{4}$^{\frac{5}{n}} \to 1$ ,

takža dle (1) , (2) pak $\liminf_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} \ge 8$ .