Matematické Fórum

MaxDJs · 11. 01. 2013 19:13

Zdravím všechny,

mohl by mi někdo poradit jak nakreslit graf funkce. V typické zkouškové písemce máme tohle zadání:

Vymyslete graf funkce f(x) na $\mathbb{R}$ tak, aby tato funkce byla klesající na (0,1), konvexní na (0, $\infty$ ), lichá a platilo $\lim_{x\to0+}(f(x))=2$

Mohly by jste mi poradit jak postupovat?

Bati · 11. 01. 2013 20:54 — Editoval Bati (11. 01. 2013 20:55)

Ahoj, zkusil bych začít s nějakým kubickým polynomem s kořenem 0.
Ten je vždy lichý, pokud ostatní 2 kořeny budou opačná čísla. Zvolím je tedy tak, aby byla klesající a konvexní v požadovaných intervalech (je třeba využít derivace), takže třeba $x(x-2)(x+2)$ bude fungovat. Zbývá splnit podmínku s limitou při zachování lichosti, což jde např. pomocí fce signum, ale to už nechám na tobě.

byk7 · 11. 01. 2013 21:11

Pozn.: Vidím, že už mě kolega předběhl s poněkud jednodušším příkladem, nicméně, když už jsem si s tím dal tu práci, tak to sem taky hodím.

Ahoj,

podívejme se blíže na funkci
$f_1(x)=\frac{1}{x^2+1}$

graf f1 Zobrazit/skrýt!

ta je na intervalu (0,1) klesající (dokonce je klesající na intervalu [0, oo) )
problémem je ale konvexnost, vyřešením nerovnice
$f_1''(x)\ge0$
dostaneme, že f1 je konvexní na intervalu [3^(-1/2), oo), my však chceme interval [0, oo)
jak to uděláme? posuneme graf f1 doleva

tím získáváme novou funkci
$f_2(x)=\frac{1}{$x+\frac{1}{\sqrt 3}$^2+1}$

graf f2 Zobrazit/skrýt!

nyní opravdu platí, že f2 je konvexní na (0, 1) (dokonce na [0, oo) )
nyní chceme, aby se hodnota v bodě nula, změnila z
$f_2(0)=\frac34$
na nějaké
$f_3(0)=2$
jak to uděláme? vynásobíme f2 koeficientem 8/3

opět máme novou funkci definovanou jako
$f_3(x)=\frac83\,f_2(x)=\frac{\frac83}{$x+\frac{1}{\sqrt 3}$^2+1}=\frac{8}{3$x+\frac{1}{\sqrt 3}$^2+3}$

graf f3 Zobrazit/skrýt!

která nám splňuje i podmínku limity zprava
místo lichosti prvně funkci udělejme sudou, a lichost pak bude snadná (např. díky funkci sgn(x) )

pro tento účel se velmi hodí absolutní hodnota s vazbou u x, tedy
$f_4(x)=f_3(|x|)=\frac{8}{3$|x|+\frac{1}{\sqrt 3}$^2+3}$

graf f4 Zobrazit/skrýt!

nakonec už jenom funkci zlišíme (nebo zlichíme či zlichýme? :)
$f(x)=\mathrm{sgn}(x)f_4(x)=\frac{8\,\text{sgn}(x)}{3$|x|+\frac{1}{\sqrt 3}$^2+3}$
graf funkce f

Creatives

NO myslím si, že autor to takhle nemyslel. Děláte z jednoduchého příkladu, příklad složitý. Taky jsme na VŠ mívali takové typy příkladů a výsledkem, je načmáraný graf s vyznačenými body a žádné další počty k tomu nejsou potřeba.
Je nutné vědět co znamená funkce lichá, sudá, konstantní, konvexní atd....Čili graf bude vypadat:
Jedna část bude vycházet z y=2 a pojede doprava směrem dolů konvexním tvarem a druhá část povede z bodu y=-2 doleva směrem nahoru, opačným směrem tak, aby to byla lichá funkce a zároveň konkávní.

byk7 · 11. 01. 2013 21:41

Tak záleží, jestli stačí opravdu jen graf, nebo chce i nějaký předpis.
Jestli opravdu stačí ten graf, tak je tvůj nápad samozřejmě mnohem jednodušší.

Creatives · 11. 01. 2013 21:58

Toť otázka :-) když tak už má obojí vyřešené hehe :P

MaxDJs · 11. 01. 2013 22:14

Je to přesně tak jak říká Creatives

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2013 19:13

Jak nakreslit graf funkce

#2 11. 01. 2013 20:54 — Editoval Bati (11. 01. 2013 20:55)

Re: Jak nakreslit graf funkce

#3 11. 01. 2013 21:11

Re: Jak nakreslit graf funkce

#4 11. 01. 2013 21:38 — Editoval Creatives (12. 01. 2013 00:01)

Re: Jak nakreslit graf funkce

#5 11. 01. 2013 21:41

Re: Jak nakreslit graf funkce

#6 11. 01. 2013 21:58

Re: Jak nakreslit graf funkce

#7 11. 01. 2013 22:14

Re: Jak nakreslit graf funkce

Zápatí