Matematické Fórum

Bodye · 12. 01. 2013 16:06 — Editoval Bodye (12. 01. 2013 16:08)

Zdravím, chtel bych nekoho poprosit, jestli by mi neprojel reseni tohodle prikladu, dekuji.

$\int_{}^{}\frac{3x^{2}+3}{(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)} dx =\frac{A}{(x-1)^{}}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2x+3)}/ (x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$

A ted z toho vyleze:
$Ax^{3}+Ax^{2}+Ax-3A+Bx^{2}+2Bx+3B+Cx^{3}-2Cx^{2}+Cx+Dx^{2}-2Dx+D$

Dále:
$B=1,A=\frac{1}{3},C=-\frac{1}{3},D=1$
po dosazeni:
$\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)}dx + \int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx + \int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+1}{x^{2}+2x+3}dx$
kde
$\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)}dx=\frac{1}{3}ln|x-1|$
$\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx=\frac{1}{x-1}$
$\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+1}{x^{2}+2x+3}dx=A\frac{2x+2}{x^{2}+2x+3}+B\frac{1}{x^{2}+2x+3}/x^{2}+2x+3$
kde $A=-\frac{1}{6}, B=\frac{4}{3}$
po dosazeni
$-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x+x}{x^{2}+2x+3}dx + \frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}+2x+3}dx$
prvni integral
$-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x+x}{x^{2}+2x+3}dx=-\frac{1}{6}ln|x^{2}+2x+3|$
a druhy
$\frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}+2x+3}dx =\frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{1}{(x+1)^{2}+2}dx=\frac{4}{3}\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(\frac{x+1}{\sqrt{2}})^{2}+1}dx$
substutice a vyjde
$\frac{4}{6}\frac{2}{\sqrt{2}}\int_{}^{}\frac{1}{t^{2}+1}dt=\frac{4}{3\sqrt{2}}*arctg (\frac{x+1}{\sqrt{2}})$
Potom kdyz to dame dohromady:
$\int_{}^{}\frac{3x^{2}+3}{(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)} dx = \frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)}dx + \int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx + \int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+1}{x^{2}+2x+3}dx= \frac{1}{3}ln|x-1|+\frac{1}{x-1}+$
$-\frac{1}{6}ln|x^{2}+2x+3|+\frac{4}{3\sqrt{2}}*arctg (\frac{x+1}{\sqrt{2}}) +C$

$=-2ln\frac{|x-1|}{|x^{2}+2x+3|}+\frac{1}{x-1}+\frac{4}{3\sqrt{2}}*arctg (\frac{x+1}{\sqrt{2}}) +C$
tady si nejsem jist s tou upravou toho logaritmu, to bude asi spatne.

marnes · 12. 01. 2013 17:00 — Editoval marnes (12. 01. 2013 17:02)

$\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx=\frac{1}{x-1}$ tímto si nejsem jist dle mého $\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx=-\frac{1}{x-1}$

$=\frac{1}{6}ln\frac{|x-1|^{2}}{|x^{2}+2x+3|}+\frac{1}{x-1}+\frac{4}{3\sqrt{2}}*arctg (\frac{x+1}{\sqrt{2}}) +C$ a když tak se ten zlomek dá napsat do jedné AH

$-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x+x}{x^{2}+2x+3}dx=-\frac{1}{6}ln|x^{2}+2x+3|$ tady v čitateli místo x má být 2, ale jinak integrál ok

to je co bych okomentoval já

Bodye · 12. 01. 2013 20:15

↑ marnes:

Ok, diky moc.
S tim prvnim je to urcite spatne
$t=x-1,\frac{dt}{dx}=1,dx=dt, potom \int_{}^{}t^{-2}dt=\frac{t^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x-1}$
$\int_{}^{}\frac{1}{(x-1)^{2}}dx=-\frac{1}{x-1}$
Jinak co znamena psat do jedne AH? Zkousel jsem hledat na googlu, ale nenasel.

marnes · 12. 01. 2013 21:36

↑ Bodye:
Do jedné absolutní hodnoty:-) Když je podíl absolutních hodnot, tak to mohu napsat jako absolutní hodnotu zlomku

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 16:06 — Editoval Bodye (12. 01. 2013 16:08)

Inetgrace parciálních zlomů, prosím o kontrolu.

#2 12. 01. 2013 17:00 — Editoval marnes (12. 01. 2013 17:02)

Re: Inetgrace parciálních zlomů, prosím o kontrolu.

#3 12. 01. 2013 20:15

Re: Inetgrace parciálních zlomů, prosím o kontrolu.

#4 12. 01. 2013 21:36

Re: Inetgrace parciálních zlomů, prosím o kontrolu.

Zápatí