Matematické Fórum

Optix · 12. 01. 2013 18:34

Ahoj, mohli byste mi prosím pomoci. Při důkazu věty o jednostranné derivaci, věta zní:
Nechť f má derivaci na otevřeném intervalu (a,b) a je spojitá zprava v bodě a. Jestli existuje
$\lim_{x\to a_{+}}f'(x)=A, pak f'_{+}(a)=A$

Při důkazu používám Lagrangeovu větu takže se dostávám k $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_{x})$
kde $c_{x}$ $\in (a,x)$

A u finální fáze nerozumím jakým způsobem použiji druhou rovnost (má to být kvůli větě o limitě složené funkce):
$A=\lim_{x\to a_{+}}f'(x)=\lim_{x\to a_{+}}f'(c_{x})$
a dále úpravou přes lagrange vyjde to co chceme tedy $f'_{+}(a)$

Předem moc děkuji, snad je to pochopitelné tak jak jsem to napsal. :)

Bati · 12. 01. 2013 19:27

Ahoj, musíš akorát začít od opačného konce:
$f'_+(a)=\lim_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a+}f'(c_x)$ .
Nyní se právě použije věta o limitě složené funkce, protože pro posloupnost bodů $x_n\to a +$ vytvoří intervaly $(a,x_n)$ klesající posloupnost vzhledem k inkluzi. Pak je nějaká věta, že z takové posloupnosti intervalů lze vybrat konvergentní posloupnost bodů (z každého jeden). Tudíž existuje posloupnost $a\neq c_{x_n}\to a$ , a je tedy splněna podmínka P věty o limtě slož. fce. Lze tedy psát, že
$f'_+(a)=\lim_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a+}f'(c_x)=\lim_{x\to a+}f'(x)$ .

Optix · 13. 01. 2013 18:09

Děkuji moc, moc jsi mi pomohl!! :)

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 18:34

Jednostranná derivace

#2 12. 01. 2013 19:27

Re: Jednostranná derivace

#3 13. 01. 2013 18:09

Re: Jednostranná derivace

Zápatí