Matematické Fórum

PanTau · 16. 01. 2013 10:04

Dobrý den,

ve škole jsem dostal příklad najít D(f) funkce (nepamatuji si přesně zadání, ale mohu napsat podobné a když se najde hodný člověk, tak mi snad i pomůže.

Např:

$\sqrt{\frac{5+x}{3-x}}*\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}+\frac{34}{2*x}$

Řekněme že máme takové zadání.
Příklad jsem nikdy nepočítal a tak jsem si určil pravidla, které znám.

Nelze dělat odmocniny ze záporných čísel a ve zlomku nesmí být 0 (v tomto případě)

A tak jsem určil nějaký interval $D(f)\in R - <0,\infty )$ - toto řešení asi nevyhovuje příkladu výše uvedénému.
Spolužák nevěděl taky jak na tento příklad a tak udělal to samé co já, oba jsme se shodli na výsledku, ale učitel řekl že to není dobře... Jak tedy na výpočet konrétního příkladu?

$\sqrt{\frac{5+x}{3-x}}*\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}+\frac{34}{2*x}$

Andrejka3 · 16. 01. 2013 10:11

↑ PanTau:
Ahoj.
Přemýšlíš dobře, jen nevím, jak jsi dospěl k výsledku. Použij třeba wolfram pro kontrolu, nakreslí ti i graf.
$\frac{A}{B}\geq 0 \iff \left( (A \geq 0 \wedge B>0) \vee (A\leq 0 \wedge B<0) \right)$ .

barbora87 · 16. 01. 2013 10:16

nejprve si musis vyřašit podmínky por která x bude $\frac{5+x}{3-x}\ge 0$ potom pro ktera x bude $\frac{2+x}{5-x}\ge 0$ a víš že ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Uděláš prúnik těchto intervalů a vyjde Ti def obor. Mě vyšlo $\langle-2,0)\cup (0,3)$

PanTau · 16. 01. 2013 10:19

Našel jsem přímo příklad, který jsem počítal.

$\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}-5 *\frac{1}{3x+2}$

Jeho $Df \in R - (0,\infty )$

Wolfram mi sice nakreslil graf, ale nejsem z něj moc moudrej

Range je na wolframu D(f)?

Andrejka3 · 16. 01. 2013 10:31

↑ PanTau:
To nevím. Asi ne.
Ale třeba takhle pro kontrolu:
Odkaz
Kdybys napsal detailně svůj postup, mohli bychom ho zkontrolovat.

PanTau · 16. 01. 2013 10:45

↑ barbora87:↑ Andrejka3:

Dobře, berme v úvahu tento výpočet...

$\frac{5+x}{3-x}\ge 0$

1)
$5+x\ge 0 \cap 3-x>0$
$x\ge -5 \cap 3>x$

$<-5,3)$

2)
$5+x\le 0\cap 3-x<0$
$x\le -5\cap 3<x$

$prazdnamonozina$

----------------------

Výsledek =
$<-5,3) \bigcup_{}^{}prazdnamonozina$ = $<-5,3)$

Andrejka3 · 16. 01. 2013 10:47

↑ PanTau:
Výborně :)
PS \emptyset je prazdna mnozina.

PanTau · 16. 01. 2013 10:49

↑ Andrejka3:
Děkuji, zápisy jsou taky správně?

Tedy, když nebudem brát v potaz to prázdnamnožina :-)

$\emptyset$

Ještě bych poprosil o strpení, do hodinky bych vypočítal příklad dal ho sem, jen aby jste mi ho překontrolovala :-)

Děkuji

Andrejka3 · 16. 01. 2013 10:59

↑ PanTau:
Asi by mohl být zápis lepší. Já ho chápu tak, jak ho máš, ale napíšu formu, která je jistě správná.

zadana nerovnice.
Označme K řešení této nerovnice.
$x \in K \iff (x \in K_1 \vee x \in K_2) \iff x \in K_1 \cup K_2$ , kde
$K_1$ je množina všech řešení $5+x\ge 0 \wedge 3-x>0$ a
$K_2$ je množina všech řešení $5+x\le 0\wedge 3-x<0$ .
...
$K_1=<-5,3)$ , $K_2=\emptyset$
$K_1 \cup K_2 =$
Neměla jsem námitky oproti Tvému zápisu, protože jde dobře interpretovat a kdyby se tam doplnilo pár maličkostí, byl by formálně dobře.
Interpretace:
$x \in K_1 \iff 5+x\ge 0 \wedge 3-x>0 \iff x \in L_1 \cap L_2$ , kde $L_1$ , resp. $L_2$ je množina všech řešení nerovnice $5+x \geq 0$ , resp. $3-x >0$ .
Ale je otázka, co je na pohled příjemnější :) Taky by formalismus neměl být na obtíž, právě naopak, má pomáhat.

PanTau · 16. 01. 2013 12:20

Vezměme si ted příklad:

$\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}-5 *\frac{1}{3x+2}$

Kde musím vyšetřit zvlášť

1)
$\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}$

2)
$5 *\frac{1}{3x+2}$

-------------------------------------------
1)
a
Nejsem si jist, zdali mám vyšetřit celý výraz, ale udělal bych to takhle :

$\sqrt{\frac{2}{x+3}}$

$\sqrt{x+3} >0$
$x>-3$

$(-3, 2>$

---------------
b

$\sqrt{\ \frac{6}{1-3x}}$
$1-3x>0$
$\frac{1}{3}<x$

$(\frac{1}{3},6>$

----------------------------------------------

Tím jsem zjistil že D(f) pro $\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}$ je $(-3, 2>\bigcup_{}^{}(\frac{1}{3},6>$

-------------------------------------
2)
$5 *\frac{1}{3x+2}$
$3x+2>0$
$x>-\frac{2}{3}$
$(-\frac{2}{3},1>$
----------------------------------------------------------------

Takže D(f) $\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}-5 *\frac{1}{3x+2}$

$D(f) \in R - (-\frac{2}{3},1>\bigcup_{}^{}(-3, 2>\bigcup_{}^{}(\frac{1}{3},6>$

--------------------------------

Snad jsem příklad vypočetl správně a někdo hodný bude mít náladu na to mrknout..

Wolfram mi nevypíše D(f) a z grafu toho moc nevidím

Andrejka3 · 16. 01. 2013 12:36

↑ PanTau:
Obecně není totéž
$\sqrt{a+b}$ a $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
například pro $a=-1,\;b=2$ je to první rovno 1, kdežto to druhé nemá smysl.

Víme, že $\sqrt{a}$ je definované, právě když $a \geq 0$ . V tvém příkladu je pod odmocninou celý součet.
$\sqrt{a}$ , kde $a=\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}$ .

PanTau · 16. 01. 2013 12:39

↑ Andrejka3:

A jak mám tedy sestavit a vypočítat $\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}$ ?

Nenapadá mě jak na to :-(

Andrejka3 · 16. 01. 2013 12:43

↑ PanTau:
ad2) Proč podmínka $3x+2>0$ ?
Je jedno, kolik nakonec vyjde $5 *\frac{1}{3x+2}$ . Důležité je, že najdeš všechna x, pro která je ten výraz definovaný.
U zlomků je problém jen "dělení nulou". Takže správná podmínka je jaká?

ad1) jsem trochu okomentovala v předchozím příspěvku. V jakém pořadí provádíš operace ve výrazu: $\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}$
Nejdřív spočítáš oba zlomky. Dva zlomky= dva problémy s nulou dole.
Pak to sečteš : no problem.
Pak to odmocniš: problém se zápornými čísly.

Andrejka3 · 16. 01. 2013 12:45

↑ PanTau:
Pokusíš se najít podmínku pro $\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}$ s předchozí radou? Zkus to.

PanTau · 16. 01. 2013 12:54

$3x+2>0$ protože je ve jmenovateli, tak proto..

U $5 *\frac{1}{3x+2}$ nesmí být jmenovatel 0, to znamená že x nesmí být $-0,6perioda$

Takže, pokud bych Řešil v pořadík jak jsi uvedla

$\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}\ge 0$

$x+3 \not = 0$ $x=-3$
$1-3x \not = 0$ $x=\frac{1}{3}$

Andrejka3 · 16. 01. 2013 13:00

↑ PanTau:

PanTau napsal(a):
U $5 *\frac{1}{3x+2}$ nesmí být jmenovatel 0, to znamená že x nesmí být $-0,6perioda$

To je dobře

$\sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}\ge 0$ proč píšeš to nerovnítko?? Je to sice pravda, ale nic ti to nedá.

Problém se zlomky jsi vyřešil správně.
Zlomky uvnitř odmocniny mají smysl, právě když $x \in \mathbb{R}\setminus \{-3,\frac{1}{3}\}$ .
Teď zbývá zlomky sečíst a pak to odmocnit.

PanTau · 16. 01. 2013 13:07

↑ Andrejka3:
Nevím proč jsem ho napsal...Napadlo mě to.

Takže je to $-\frac{8}{3}$ odmocnit $\sqrt{-\frac{8}{3}}$ = $\sqrt{-\frac{8}{3}}$ což nejde..?

Andrejka3 · 16. 01. 2013 13:20

$\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}=\frac{2(1-3x)+6(x+3)}{(x+3)(1-3x)}=\frac{20}{(x+3)(1-3x)}$ a je to pravda pro $x \in \mathbb{R}\setminus \{-3,\frac{1}{3}\}$ .
Teď je třeba to odmocnit. Ale odmocnit se dá jen nezáporné číslo, takže řešíme
$\frac{20}{(x+3)(1-3x)} \geq 0$ .

PanTau · 16. 01. 2013 13:31

$\frac{20}{(x+3)(1-3x)} \geq 0$

$(-3,\frac{1}{3})$

?

Andrejka3 · 16. 01. 2013 13:37

Jo.

PanTau · 16. 01. 2013 13:42

↑ Andrejka3:

Takže jak píšeš,

$D(f) \sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}} \in (-3,\frac{1}{3})$

A co s tou druhou částí, shodli jsme se na tom že se jmenovatel nesmí rovnat $-0,6perioda$

A jak to kompletně zapsat?

Andrejka3

↑ PanTau:
$D\left( \sqrt{\frac{2}{x+3}+\frac{6}{1-3x}}\right)=(-3,1/3)$ .
To je ta levá část.

Pravá část má smysl pro $\mathbb{R} \setminus \{-2/3\}$ . (to je to $-0,6perioda$ )
To vlevo sčítám s tím vpravo. Umíme dělat součet libovolných čísel. Takže stačí, aby byla zároveň definované to vlevo a vpravo.
Takže co udělat s množinami
$(-3,1/3)$ a $\mathbb{R} \setminus \{-2/3\}$ ?

Andrejka3 · 16. 01. 2013 14:00

↑ PanTau:
Už :)

PanTau · 16. 01. 2013 14:06

↑ Andrejka3:

$(-3,1/3)$ $\bigcup_{}^{}$ $\{-2/3\}$

Tohle?

Andrejka3 · 16. 01. 2013 14:12

↑ PanTau:
Ne. Kdybys vzal ty -2/3, tak padnou do intervalu $(-3,1/3)$ , takže ta odmocnina se spočítá a bude čekat až se bude moci sečíst s tím zlomkem vpravo. Ale nedočká se. V tom zlomku vpravo dělíš nulou, takže to je error a konec světa.
Snad je problém v zápisu:
$\mathbb{R} \setminus \{-2/3\}=(-\infty,-2/3)\cup (-2/3,\infty)$ .

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2013 10:04

Vyšetři D(f) funkce

#2 16. 01. 2013 10:11

Re: Vyšetři D(f) funkce

#3 16. 01. 2013 10:16

Re: Vyšetři D(f) funkce

#4 16. 01. 2013 10:19

Re: Vyšetři D(f) funkce

#5 16. 01. 2013 10:31

Re: Vyšetři D(f) funkce

#6 16. 01. 2013 10:45

Re: Vyšetři D(f) funkce

#7 16. 01. 2013 10:47

Re: Vyšetři D(f) funkce

#8 16. 01. 2013 10:49

Re: Vyšetři D(f) funkce

#9 16. 01. 2013 10:59

Re: Vyšetři D(f) funkce

#10 16. 01. 2013 12:20

Re: Vyšetři D(f) funkce

#11 16. 01. 2013 12:36

Re: Vyšetři D(f) funkce

#12 16. 01. 2013 12:39

Re: Vyšetři D(f) funkce

#13 16. 01. 2013 12:43

Re: Vyšetři D(f) funkce

#14 16. 01. 2013 12:45

Re: Vyšetři D(f) funkce

#15 16. 01. 2013 12:54

Re: Vyšetři D(f) funkce

#16 16. 01. 2013 13:00

Re: Vyšetři D(f) funkce

PanTau napsal(a):

#17 16. 01. 2013 13:07

Re: Vyšetři D(f) funkce

#18 16. 01. 2013 13:20

Re: Vyšetři D(f) funkce

#19 16. 01. 2013 13:31

Re: Vyšetři D(f) funkce

#20 16. 01. 2013 13:37

Re: Vyšetři D(f) funkce

#21 16. 01. 2013 13:42

Re: Vyšetři D(f) funkce

#22 16. 01. 2013 13:59 — Editoval Andrejka3 (16. 01. 2013 14:00)

Re: Vyšetři D(f) funkce

#23 16. 01. 2013 14:00

Re: Vyšetři D(f) funkce

#24 16. 01. 2013 14:06

Re: Vyšetři D(f) funkce

#25 16. 01. 2013 14:12

Re: Vyšetři D(f) funkce

Zápatí