Matematické Fórum

Mysteria · 17. 01. 2013 15:55

Zdravím, vůbec tak nějak nerozumím co je účelem tohohle zadání.

Zadání: Dodefinujte funkci $y: f(x) = \frac{x^{2}-1}{x+1}$ v bodu a = 1 pokud je to možné.
Ve skriptech je na to jeden příklad, a u toho se počítá limita - takže jsem spočítal:
$\lim_{x\to1}(\frac{x^{2}-1}{x+1}) = \lim_{x\to1}({x-1}) = 0$
A dál jsem to už nepochopil :(

Přitom v definicích je, že funkce je spojitá, když lim(x->a) f(x) = f(a), což jsem taky nějak nepochopil, takže nevím jak to aplikovat na výše zmíněný příklad.

Díky moc za nějaké normální vysvětlení :)

Bati · 17. 01. 2013 16:08 — Editoval Bati (17. 01. 2013 16:08)

Zdravím,
je to velmi jednoduché. Dodefinovávat funkci v nějakém bodě má obvykle smysl jen tehdy, pokud tam ta funkce není definovaná už automaticky, což ale ta tvoje funkce je, protože v bodě 1 je zřejmě spojitá a má hodnotu 0. Takže bych to viděl na nějakou chybu v zadání. Možná ve jmenovateli té funkce má být minus, nebo a=-1. Potom by už vyvstal problém, což ilustruju:
Nechť tedy máme stejnou funkci a bod -1. V něm tato funkce není definovaná (0 ve jmenovateli), a chtěli bychom zjistit, zda jde v tomto bodě dodefinovat nějakou hodnotou tak, aby v jeho okolí byla spojitá. Proto se dělá ta limita: $\lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to-1}(x-1)=-2$ . Takže je vidět, že funkce definovaná takto: $g(x)=f(x)\quad x\in\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ a $g(-1)=-2$ je spojitá v $\mathbb{R}$ . Mohlo by se totiž snadno stát, že ta limita, kterou jsem počítal nebude existovat, nebo nebude vlastní, pak odpověď je, že spojitě dodefinovat v daném bodě nelze.

Mysteria · 17. 01. 2013 16:16

Aha, takže vlastně účelem téhle úlohy je určit limitu v bodech, kdy není definována (jmenovatel je roven 0) a pokud ta limita vyjde nějaké reálné číslo, tak pak přímo ten výsledek limity je to číslo, které je dodefinováním té funkce?

A pak ten zápis té nově dodefinované funkce je tedy vždy:
$g(x) = f(x), x \in D(f)$ a g(bod kdy není definována) = výsledek limity?

Jestli mám teda pravdu, tak díky moc, kdybych napsal už před hodinou tak jsem si ušetřil mnoho nervů nad skriptama. :)

Bati · 17. 01. 2013 16:56

Ano, máš pravdu, ale z toho co píšeš si nejsem jistý, jestli tomu úplně rozumíš. K té limitě - ano, to číslo, které vyjde, jako limita funkce, musíš zvolit jako funkční hodnotu té funkce v tom bodě - to je právě přesně ta definice spojitosti, že $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ . Kdybys zvolil jakékoliv jiné číslo, tak zřejmě právě podle této definice nemůže být spojitá - uvědom si geometrickou interpretaci toho celého příkladu. Máš vlastně lineární funkci $x-1$ , která akorát není definovaná v -1, neboli ten bod tam prostě chybí, a ty ho navolíš tak, aby přesně "zapadnul" do té přímky, čímž najednou dostaneš spojitou funkci.
Doporučuju si promyslet ještě tyto vzorové příklady : $\frac{x}{|x|}$ v nule a $x^x=e^{x\ln{x}}$ také v nule a potom v nule zprava.

Bati · 17. 01. 2013 17:04

Stojí to celé na tom, že limita nějaké funkce v nějakém bodě se realizuje na prstencovém okolí toho bodu, nikoliv přímo v něm. Tedy pokud se na obou stranách tohoto prstencového okolí ta funkce chová "rozumně" (neutíká do nekonečna, netvoří "schod"), tak potom je možné ji jednoduše dodefinovat.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2013 15:55

Dodefinování funkce, aby byla spojitá

#2 17. 01. 2013 16:08 — Editoval Bati (17. 01. 2013 16:08)

Re: Dodefinování funkce, aby byla spojitá

#3 17. 01. 2013 16:16

Re: Dodefinování funkce, aby byla spojitá

#4 17. 01. 2013 16:56

Re: Dodefinování funkce, aby byla spojitá

#5 17. 01. 2013 17:04

Re: Dodefinování funkce, aby byla spojitá

Zápatí